Доказательство для коэффициентов многочлена

[kthxbye]

Имеем семейство уравнений

$$x_k=\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{\ddots a_{k-1}+\cfrac{1}{a_k+x_k}}}}}$$

$$P_2(k)x_{k}^2+P_1(k)x_k+P_0(k)=0$$

Требуется доказать следующее:

$$P_0(k)=-[k=1]+[k>1](P_0(k-1)a_k+P_0(k-2))$$

$$P_1(k)=[k=1]a_1+[k>1](P_0(k-1)+P_2(k+1))$$

$$P_2(k)=[k=1]+[k>1](P_2(k-1)a_{k-1}+P_2(k-2))$$

$$(P_1(2k))^2+4|P_0(2k)|P_2(2k)=|P_1(2k)|(|P_1(2k)|+4)$$

$$(P_1(2k+1))^2+4|P_0(2k+1)|P_2(2k+1)=(|P_1(2k+1)|)^2+4$$

Каким образом это можно сделать?

[Andrey A]

kthxbye
Вы, как всегда, не сильно утруждаетесь по поводу что есть где и почем, но предположим $a_i$ целые положительные, $x_k$ вещественное, и речь о непрерывных дробях. Поверьте, лесенка не нужна. Добавьте к ней $0$ и запишите так: $x_k=0,a_1,a_2,...,a_{k-1},a_k+x_k.$
Обозначим две предпоследние подходящие дроби $\dfrac{q_{k-2}}{p_{k-2}},\dfrac{q_{k-1}}{p_{k-1}}=0,a_1,a_2,...,a_{k-1}.$ Тогда по правилу образования подходящих дробей последняя дробь имеет вид $\dfrac{(a_k+x_k)q_{k-1}+q_{k-2}}{(a_k+x_k)p_{k-1}+p_{k-2}}.$ Учитывая, что $a_kq_{k-1}+q_{k-2}=q_k, a_kp_{k-1}+p_{k-2}=p_k$, получаем

$$\dfrac{x_kq_{k-1}+q_k}{x_kp_{k-1}+p_k}=x_k.$$

Отсюда $x_k=\dfrac{-(p_k-q_{k-1})+\sqrt{(p_k-q_{k-1})^2+4p_{k-1}q_k}}{2p_{k-1}}$ и, учитывая опять же что $p_{k-1}q_k=p_kq_{k-1}-(-1)^k$, получаем окончательно

$$x_k=\dfrac{-(p_k-q_{k-1})+\sqrt{(p_k+q_{k-1})^2-4 \cdot (-1)^k}}{2p_{k-1}}$$

Иными словами $x_k$ есть бесконечная периодическая дробь с периодом $(a_1,a_2,...,a_k),$ а именно $x_k=0,(a_1,a_2,...,a_k).$ Эта задача описана здесь (самое начало подзаголовка "Радикалы"). Можете брать теперь вещественные $a_i$, суть роли не влияет. Только проверить будет труднее, поскольку разложение окажется другое и не факт что конечное. А заглавные Ваши буквы не знаю откуда берутся, и что есть сие. Дальше я пас.

Исправлено 22:38

Из этого:

kthxbye в сообщении #1491408 писал(а):

$$P_2(k)x_{k}^2+P_1(k)x_k+P_0(k)=0$$

можно предположить $P_2(k)=p_{k-1},P_1(k)=p_k-q_{k-1},P_0(k)=-q_k$, но с дальнейшими Вашими выводами оно как-то не стыкуется.

[kthxbye]

Andrey A, огромное спасибо вам за ответ!

Andrey A в сообщении #1491701 писал(а):

с дальнейшими Вашими выводами оно как-то не стыкуется

Отсюда следует, вероятно, что они не верны. Результаты были получены мною очень давно, поэтому не исключена возможность того, что это могли быть всего лишь навсего неудачные догадки.