2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Infinite sum involving Fibonacci numbers
Сообщение08.11.2020, 21:41 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Последовательность $\{a\}$ определена следующим образом: $a_{k+2}=7a_{k+1}-a_k+4$, $a_0=1, a_1=10.$
Вычислите сумму
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}^2+F_{2n+1}^2+a_k}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Infinite sum involving Fibonacci numbers
Сообщение09.11.2020, 11:11 
Заслуженный участник


20/12/10
9107
lel0lel в сообщении #1491245 писал(а):
Вычислите сумму
С индексами там не все в порядке. Отредактируйте, плиз.

 Профиль  
                  
 
 Re: Infinite sum involving Fibonacci numbers
Сообщение09.11.2020, 17:49 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Давайте суммировать с единицы или доопределим $F_{-i}=(-1)^{i+1}F_i$, тогда $F_{-1}=1$. В обоих случаях ответы получатся сравнимые по лаконичности.
Сейчас подумалось быть может вы про индекс $k$. В этом ошибки нет. Нужно вычислить указанную сумму $S(k)$ для любого целого $k$, т. е. получить замкнутую формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Infinite sum involving Fibonacci numbers
Сообщение09.11.2020, 18:48 
Заслуженный участник


20/12/10
9107
lel0lel в сообщении #1491381 писал(а):
Сейчас подумалось быть может вы про индекс $k$. В этом ошибки нет.
Действительно, в первую очередь про это подумал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Infinite sum involving Fibonacci numbers
Сообщение10.11.2020, 21:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Пусть $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотое сечение, так что $F_n=\frac{\varphi^n-(-1/\varphi)^n}{\sqrt{5}}$, $a_k=\frac{3}{5}\left(\varphi^{4k+2}+\varphi^{-4k-2}\right)-\frac{4}{5}=3F_{2n-2k-1}F_{2n+2k+1}-F_{2n-1}^2-F_{2n+1}^2$. Тогда
$$\frac{1}{F_{2n-1}^2+F_{2n+1}^2+a_k}=\frac{1}{3F_{2n-2k-1}F_{2n+2k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{3F_{4k+2}}\left(\frac{1}{\varphi^{4n-4k-2}+1}-\frac{1}{\varphi^{4n+4k+2}+1}\right),$$
откуда
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{F_{2n-1}^2+F_{2n+1}^2+a_k}=\frac{\sqrt{5}}{3F_{4k+2}}\sum_{n=0}^{2k}\frac{1}{\varphi^{4n-4k-2}+1}=\frac{\sqrt{5}}{3F_{4k+2}}\left(\frac{\varphi^{2k+1}}{F_{2k+1}\sqrt{5}}+k\right).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Infinite sum involving Fibonacci numbers
Сообщение10.11.2020, 22:21 
Заслуженный участник


20/04/10
1889
Красиво. Думал задачка дольше продержится.
Ещё вариант ответа:
$$S(k)=\frac{1}{2(a_k+2)}+\frac{(2k+1)\sqrt{5}}{b_k},$$
$b_0=6, b_1=48, b_i=7b_{i-1}-b_{i-2}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group