2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение08.11.2020, 12:12 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Пусть $\alpha$ --- наибольший корень уравнения $x^3-3x^2+1$. Вычислите $[\alpha^{p+1}] \bmod{p}$, где $p$ --- простое число.

Примечание. Квадратные скобки обозначают целую часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение08.11.2020, 15:38 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
Я опять влезу с тупым перебором, вдруг кому пригодится для сверки.

(Оффтоп)

Для $p=18k \pm 1$ результат равен $8$, для остальных $p-1$. Забавно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение08.11.2020, 15:54 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Dmitriy40
Да, ответ, безусловно, верный. Надеюсь, кто-нибудь напишет объяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение08.11.2020, 20:12 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
Понятно почему:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pisot%E2% ... PV-numbers
https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27 ... olynomials

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение08.11.2020, 21:11 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal
А как со степенными суммами работать? Что-то я не понимаю, как здесь могут помочь тождества Ньютона.

А про числа Пизо хорошее замечание (я почему-то про них и не вспомнил).

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 05:38 
Заслуженный участник


18/01/15
3075

(Оффтоп)

Интересно, Как Вы их придумываете или откуда выкапываете ? Надо бы мне хоть одну как-нибудь попытаться решить...

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 07:44 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov, так в лоб же. Мы знаем $e_1=3$, $e_2=0$, $e_3=-1$ и $e_k=0$ для $k>3$, а нужно вычислить сумму $(p+1)$-х степеней.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 09:14 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1491300 писал(а):
так в лоб же
Да, но там придется оценивать сумму $$\sum_{r_3=0}^{[m/3]}\frac{(m-2r_3-1)!}{(m-3r_3)!r_3!}(-3)^{m-3r_3}$$ при $m=p+1$ по модулю $p$. Неужели это можно сделать непосредственно? Эта сумма вычисляется (в поле $\mathbb{R}$), но это вернет нас к тривиальному выражению для степенной суммы. В любом случае нужно будет придумывать какой-то трюк, ибо для произвольного кубического многочлена это не будет работать (так как ответ в разумном виде вряд ли возможен).

vpb
С этой задачей такая история: нашел ее случайно в одном из файлов от одного питерского товарища; эта была задача для школьников, но в оригинальной формулировке она мне показалась несколько пресной, вот и решил добавить "немного специй". Впрочем, судите сами, вот оригинальная формулировка: докажите, что числа $[\alpha^{1788}]$ и $[\alpha^{1988}]$ делятся на $17$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 17:53 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov в сообщении #1491302 писал(а):
Да, но там придется оценивать сумму $$\sum_{r_3=0}^{[m/3]}\frac{(m-2r_3-1)!}{(m-3r_3)!r_3!}(-3)^{m-3r_3}$$ при $m=p+1$ по модулю $p$. Неужели это можно сделать непосредственно?

Ну так у нас же $(m-2r_3-1)!=(p-2r_3)!\equiv -\frac{(p-1)!}{(2r_3-1)!}\pmod{p}$, что всё облегчает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 18:35 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1491383 писал(а):
что всё облегчает
Увы, не вижу, как облегчает. Этот факториальный коэффициент при $(-3)^{m-2r_3}$ ведет себя непонятно как по модулю $p$. И если, кстати, в сумме степень $(-3)^{m-2r_3}$ заменить на (например) $(-4)^{m-2r_3}$, то результат (значение суммы) становится трудно предсказуемым. Возможно, я чего-то не вижу. Буду рад, если дадите подробное объяснение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 19:09 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
nnosipov в сообщении #1491302 писал(а):
Впрочем, судите сами, вот оригинальная формулировка: докажите, что числа $[\alpha^{1788}]$ и $[\alpha^{1988}]$ делятся на $17$.
Что ж, подумаем ...

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 19:11 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5660
nnosipov, сумма сворачивается в что-то такое:
$$\int_0^1 [x^1] (x^2y+x^{-1}-3)^{p-1}\, dy = \int_0^1 [x^p] (x^3y+1-3x)^{p-1}\, dy$$
Далее можно использовать мультисекцию рядов для вычисления коэффициента при $x^p$ (как разность суммы по корням степени $p$ и суммы по корням степени $2p$) в $(x^3y+1-3x)^{p-1}$, но провести все выкладки пока нет времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 19:23 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
maxal в сообщении #1491393 писал(а):
но провести все выкладки пока нет времени
Да не горит. Но, вообще, хотелось бы в образовательных целях увидеть пример подобной техники. Думаю, это было бы интересно не только мне.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 20:02 
Заслуженный участник


09/02/06
4382
Москва
Составляете рекурентную последовательность с таким характеристическим уравнением:
$$x_{n+1}=3x_n-x_{n-2}.$$
Берем решение, являющееся последовательностью Люка (Это я так называю)
$V_n=x_1^n+x_2^n+x_3^n. Если $x_1=\alpha$ максимальный корень, то $2<\alpha <3$ и $x_2,x_3$ корни по модулю меньше 1.
Причем, положительный из них больше, так как $\alpha+x_2+x_3=3>\alpha$.
Поэтому $[\alpha^{n+1}]=V_{n+1}-1$.
Начальные условия $V_0=3, V_1=3, V_2=9$. Согласно автоморфизму Фробениуса $V_{p+1}=V_2\mod p$, Следовательно $[\alpha^{p+1}]=8\mod p$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Целая часть степени корня кубического уравнения
Сообщение09.11.2020, 20:15 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Руст в сообщении #1491402 писал(а):
Следовательно $[\alpha^{p+1}]=2\mod p$.
Это неверно. Правильный ответ был дан выше.

И хотя правильные слова уже произнесены, есть нюанс.

-- Вт ноя 10, 2020 00:17:05 --

Руст в сообщении #1491402 писал(а):
Следовательно $[\alpha^{p+1}]=8\mod p$.
Вот так вернее. Но все равно не совсем.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group