Цилиндр в цилиндре

[profilescit]

Внутрь закрепленного цилиндра радиуса $R$, ось $O$ которого горизонтальна, помещают легкий цилиндр вдвое меньшего радиуса. Ось $C$ меньшего цилиндра также горизонтальна. На поверхности закреплено маленькое тело массы $m$. Меньший цилиндр удерживают так, что тело находится на оси большего цилиндра, а плоскость $OC$ (в которой лежат оси обоих цилиндров) составляет угол $\alpha$ с вертикалью.

1. Меньший цилиндр опускают и он начинает катиться по внутренней поверхности большего без проскальзывания.

Определите ускорение тела сразу после начала движения

2. Определите ускорение и скорость тела в момент времени когда плоскость $OC$ вертикальна. Считать что движение было без проскальзывания.

3. Определите минимальное значение коэффициента трения между цилиндрами, при котором возможно движение без проскальзывания до момента времени когда плоскость $OC$ займет положение симметрично начальному относительно вертикали

4. Определите скорость тела в момент начала проскальзывания если коэффициент трения $\mu$ задан


Если с первым пунктом проблем нет, возникают вопросы со следующими. (все же прикреплю решение первого пункта)

1. Точка контакта маленького цилиндра с большим является мгновенной осью вращения. Запишем момент сил относительно этой точки.
$ m g R \sin{\alpha} = m R^2 \varepsilon$
Нет проскальзывания, значит $a = \frac{\varepsilon}{R}$
$a = g \sin{\alpha}$

2. Тут уже начинается расходимость с верным решением.
Я начал так - Пусть маленький цилиндр прокрутился в ходе движения на угол $\beta$, при этом пройдя путь $\alpha R$.
Нет проскальзывания, значит $\alpha R = \beta \frac{R}{2}$ откуда $\beta = 2 \alpha$
А значит тело составляет угол $3 \alpha$ с вертикалью.
Запишем закон сохранения энергии.
$m g R = m g \frac{R}{2}(1 - \cos({\pi - 3 \alpha})) + \frac{m v^2}{2}$
Откуда скорость $v = \sqrt{g R (1 - \cos{3 \alpha})}$ против $\sqrt{2 g R} \sin{\alpha}$ в ответе.

Где начинаются мои ошибки и как придти к правильному решению?

[Prisma]

Вы провернули внутренний цилиндр на угол $2\alpha$ относительно первоначального положения оси, потому утроенный угол получили, не учли, что ось и сама провернулась на угол $\alpha$ в противоположном направлении вращения