Доказать, что одна функция распределения всюду меньше другой

[artempalkin]

Это задача 3.15 из Прохорова Ушакова:

Пусть $\xi$ и $\eta$ - случайные величины с функциями распределения $F(x)$ и $G(x)$ соответственно. Доказать, что если $P(\xi>\eta)=1$, то $F(x)<G(x)$ при всех $x$. Верно ли обратное при условии, что $\xi$ и $\eta$ определены на одном вероятностном пространстве?

Во-первых, тут, очевидно, опечатка (Прохоров Ушаков, по крайней мере этого издания, грешат этим) и подразумевается $F(x)\leqslant G(x)$ (тут легко даже придумать пример для такого случая).

Далее, выберем некоторое значение $x$:

$P(\xi>\eta)=P(x\geqslant\xi>\eta)+P(\xi>x\geqslant\eta)+P(\xi>\eta>x)=\\=P(\xi \leqslant x)\cdot P(\xi>\eta|\xi \leqslant x)+P(\xi>x\geqslant\eta)+P(\eta>x)\cdot P(\xi>\eta|\eta>x)=\\=F(x)+P(\xi>x\geqslant\eta)+1-G(x)=1$

Отсюда:

$F(x)-G(x)=-P(\xi>x\geqslant\eta)\leqslant 0$, чтд.

Меня немножко смущает, что я использую вот что:

$P(\xi>\eta|\eta>x)=1$ и $P(\xi>\eta|\xi \leqslant x)=1$.

Вроде бы оно так и есть (т.к. $P(\xi>\eta)=1$), но все же я не до конца понимаю, как это обосновать.

И второй вопрос задачи не слишком ясен. Не знаю даже, как к нему подступиться.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1490769 писал(а):

$P(\xi>\eta|\eta>x)=1$

Если $P(\eta > x) > 0$, то просто по определению условной вероятности, с учетом того что $(\xi > \eta) \wedge (\eta > x)$ и $\eta > x$ - это просто одно и то же событие.
Если $P(\eta > x) > 0$, то ваши рассуждения не проходят - нельзя брать условную вероятность относительно условия нулевой вероятности.

artempalkin в сообщении #1490769 писал(а):

И второй вопрос задачи не слишком ясен

Так вам вопрос неясен, или что делать неясно?
Если второе - то обратите внимание, что $F(x) < G(x)$ зависит только от распределения $\xi$ и $\eta$ и не зависит от их совместного распределения, а $P(\xi > \eta)$ - зависит от совместного распределения.

[artempalkin]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1490773 писал(а):

Если $P(\eta > x) > 0$, то просто по определению условной вероятности, с учетом того что $(\xi > \eta) \wedge (\eta > x)$ и $\eta > x$ - это просто одно и то же событие.
Если $P(\eta > x) > 0$, то ваши рассуждения не проходят - нельзя брать условную вероятность относительно условия нулевой вероятности.

Во втором случае вы, видимо, имели в виду $P(\eta > x) = 0$

mihaild в сообщении #1490773 писал(а):

Если $P(\eta > x) > 0$, то просто по определению условной вероятности, с учетом того что $(\xi > \eta) \wedge (\eta > x)$ и $\eta > x$ - это просто одно и то же событие.

Здесь меня смущает, что все-таки $P(\xi>\eta)=1$, а не $\{(\omega_1,\omega_2):\xi>\eta\}=\Omega_1\times\Omega_2$. То есть вполне может быть, что найдутся какие-то исходы, когда $\xi\leqslant\eta$, просто вероятность их нуль. В таком случае, строго говоря (насколько я понимаю), $\{(\omega_1,\omega_2):(\xi > \eta) \wedge (\eta > x)\}\neq\{(\omega_1,\omega_2):\eta > x\}$
Поэтому, когда я использую условную вероятность, вроде бы все встает на свои места.

mihaild в сообщении #1490773 писал(а):

Если $P(\eta > x) =0$, то ваши рассуждения не проходят - нельзя брать условную вероятность относительно условия нулевой вероятности.

Ааа, ну да. В таком случае $G(x)=1$, и автоматически $F(x)\leqslant G(x)$.

mihaild в сообщении #1490773 писал(а):

Так вам вопрос неясен, или что делать неясно?

Вопрос в целом ясен, кроме как вот это

artempalkin в сообщении #1490769 писал(а):

при условии, что $\xi$ и $\eta$ определены на одном вероятностном пространстве

Я не мастак в тервере, и не очень пока могу понять, к чему это вообще...

mihaild в сообщении #1490773 писал(а):

Если второе - то обратите внимание, что $F(x) < G(x)$ зависит только от распределения $\xi$ и $\eta$ и не зависит от их совместного распределения, а $P(\xi > \eta)$ - зависит от совместного распределения.

Ух, хорошо, спасибо, попробую покумекать над этим.

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1490777 писал(а):

Здесь меня смущает, что все-таки $P(\xi>\eta)=1$, а не $\{(\omega_1,\omega_2):\xi>\eta\}=\Omega_1\times\Omega_2$.

Ну да, "одно и то же" с точностью до почти наверное.
Если хочется совсем строго - то надо доказать, что если $P(A) = 1$ то $P(A \cap B) = P(B)$. Доказывается несложно: $P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)$. Ну а $P(\overline{A}\cap B) \leqslant P(\overline{A}) = 0$.

artempalkin в сообщении #1490777 писал(а):

к чему это вообще

Если они определены на разных пространствах, то $\xi < \eta$ - это вообще не событие, а непонятно что.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1490779 писал(а):

$P(B) = P(A\cap B) + P(\overline{A}\cap B)$. Ну а $P(\overline{A}\cap B) \leqslant P(\overline{A}) = 0$.

Да, это интуитивно понятно, но доказательство хорошее :)

mihaild в сообщении #1490779 писал(а):

Если они определены на разных пространствах, то $\xi < \eta$ - это вообще не событие, а непонятно что.

В первом пункте, однако, нас это не смущало почему-то :)