Свёртка

[Capella]

Помогите, пожайлуста, разобраться с одинм интегралом.
Имеем определение:
$ X, $$Y$$ > 0 $. Имеем какии-то функции плотности $ f(x) $ и $ g(y) $, $ X,Y $ независимы. Тогда случайная величина $ Z = \frac X Y имеет следующую плотность:
h(z) = \int\limits_{0}^{\infty} y $${f(zy)}$$ $${g(y)}$$ dy $.
Вопрос: откуда под интегралом взялся у? По идеи его там не должно быть (я уже смотрела в Википедии, там немного другой случай, но без у!)

[незваный гость]

Из якобиана преобразования координат.

[Capella]

Спасибо, незванный гость! Можете тогда обяснить, почему его нету здесь?

[Аурелиано Буэндиа]

Capella писал(а):

почему его нету здесь?

возможно $y$ вылезает из меры...

[Capella]

Я прокололась Двумя строчками ниже стоит вот что: нужно выражение под интегралом продифференцировать по $ z $. тогда можно рассмотреть $ y $ как константу относительно $ z $

[Someone]

Capella писал(а):

Помогите, пожайлуста, разобраться с одинм интегралом.
Имеем определение:
$ X, $$Y$$ > 0 $. Имеем какии-то функции плотности $ f(x) $ и $ g(y) $, $ X,Y $ независимы. Тогда случайная величина $ Z = \frac X Y имеет следующую плотность:
h(z) = \int_{0}^{\infty} y $${f(zy)}$$ $${g(y)}$$ dy $.
Вопрос: откуда под интегралом взялся у? По идеи его там не должно быть (я уже смотрела в Википедии, там немного другой случай, но без у!)

$$F_Z(z)=\mathrm P(Z<z)=\mathrm P\left(\frac{X}{Y}<z\right)=\mathrm P(X<zY)=\int\limits_0^{+\infty}dy\int\limits_0^{yz}f(x)g(y)dx=$$

(Если здесь продифференцировать по $z$, то получим $h(z)=F'_Z(z)=\int_0^{+\infty}yf(yz)g(y)dy$. Можно поступить иначе: сделаем во внутреннем интеграле замену переменной $x=yt$, считая, естественно, $y$ постоянным. Тогда $dx=ydt$. Тот же результат получится, если рассматривать это как замену двух переменных $x$ и $y$ на $t$ и $y$ и вычислить якобиан.)

$$=\int\limits_0^{+\infty}dy\int\limits_0^zf(yt)g(y)ydt=\int\limits_0^zdt\int\limits_0^{+\infty}yf(yt)g(y)dy$$

Поскольку (с учётом неотрицательности $Z$) $F_Z(z)=\int_0^zh(t)dt$, сравнение интегралов даёт $h(z)=\int_0^{+\infty}yf(yz)g(y)dy$, если, конечно, этот интеграл сходится.

[Capella]

Someone

Спасибо, но теперь у меня возник следующий вопрос. Функции плотности, которые мы здесь рассматриваем вообще говоря не определенны конкретно. При этом якобиан даёт какое-то постоянное значение $ y $. Но если я буду подставлять уже плотности конкретных и различных распределений, то у меня возникают сомнения в том, что их якобиан будет совпадать. Отсюда следующий вопрос: наш $ y $ постояннен при любом распределении или это символическое обозначение для якобиана, которое будет зависеть от того, какую $ f(zy) $ я рассматриваю?

[незваный гость]

$y$ -- постоянно, не зависит от случайных величин. Или, точнее говоря, оно зависит от того, плотность какой величины мы ищем -- в Вашем примере, $ \frac X Y $. Будете искать для $ \frac {X^2} Y $, результат будет другим.

[Capella]

незванный гость

Большое спасибо, это как раз именно то, что я хотела знать. Давайте посмотрим Ваш пример: $ X = \sqrt {Y Z} $. Здесь я должна рассмотреть аргумент как функцию и сделать производную по ней, т.е. получить: $ f'(\sqrt{ y z}) = \frac {y} {2 \sqrt {y z}}$. А сам интеграл будет выглядеть вот так: $ \int\limits_{0}^{\infty} {\frac {y} {2 \sqrt {y z}} f(\sqrt {zy}) g(y)} dy $

[незваный гость]

Цитата:

функцию и сделать производную по ней, т.е. получить: $ f'(\sqrt{ y z}) = \frac {y} {2 \sqrt {y z}}$.

Я бы скорее написал $ \frac{\rm d}{{\rm d} z}(\sqrt{ y z}) = \frac {y} {2 \sqrt {y z}}$.

Якобиан приходиться использовать в более сложных случаях, при одновременной подстановке нескольких переменных.

[Capella]

Понятно, спасибо. Да насчёт записи дифференциала я согласна, а так само конечное выражение правильно, как я поняла?

[незваный гость]

да.