Задача по планиметрии (трапеция)

[Батороев]

На старом дряхлом листе бумаги увидел условие задачи.

"Имеется трапеция с основаниями $a$ и $2a$.
На ее боковых сторонах как на диаметрах, проведены две окружности, имеющие внешнюю точку касания.
Определить площадь трапеции".

Стало интересно, можно ль решить ее в таком виде или что-то на листе стерлось?

[ewert]

Батороев писал(а):

На старом дряхлом листе бумаги увидел условие задачи.

"Имеется трапеция с основаниями $a$ и $2a$.
На ее боковых сторонах как на диаметрах, проведены две окружности, имеющие внешнюю точку касания.
Определить площадь трапеции".

Стало интересно, можно ль решить ее в таком виде или что-то на листе стерлось?

естественно, можно. Уведите маленькое основание далеко-далеко ввысь от большого. Те самые две окружности начнут совершенно наглым образом пересекаться.

[Батороев]

Это понятно, что окружности будут пересекаться.
А если не уводить маленькое основание и касание все же есть, то на основании чего площадь считать то?
Если бы было сказано, что обе окружности одного диаметра, то задача была бы плевой. Но ведь нет этого.

[ewert]

а-а, да, возможно, понял.

Наверняка подразумевалось, что трапеция равнобедренна.

А если не обязательно, то тут надо думать, но лень.

[Батороев]

Мне тоже кажется, что равнобедренность трапеции каким то образом требуется доказать.
Но у меня что-то не получается

[ИСН]

Может быть и другое: площадь результата не зависит от равнобочия трапеции. Но тут да, надо думать, но лень.

[Батороев]

Видно, невовремя я задачку предложил.
ПЯТНИЦА!!!

[Профессор Снэйп]

Всё, прорубил фишку. Данных действительно недостаточно.

Пусть $A$ и $D$ --- произвольные точки плоскости, расстояние между которыми равно $2a$. Рассмотрим эллипс $\mathcal{E}$ с фокусами $A$ и $D$, такой что для произвольной точки $X$ на плоскости

$$ X \in \mathcal{E} \Leftrightarrow |XA|+|XD| = 6a $$

Выберем произвольную точку $E \in \mathcal{E}$, не лежащую на прямой $(AD)$. Пусть $B$ есть середина отрезка $[EA]$, а $C$ --- середина отрезка $[ED]$. Тогда $ABCD$ --- трапеция, для которой $|BC|=a$. Далее, пусть $F$ есть середина $[AB]$, а $G$ --- середина $[CD]$. Имеем

$$ |AF| + |GD| = \frac{|AE|+|ED|}{4} = \frac{3a}{2} = \frac{|AD|+|BC|}{2} = |FG| $$

Если $\mathcal{O}_1$ --- окружность с диаметром $[AB]$, а $\mathcal{O}_2$ --- окружность с диаметром $[CD]$, то $F$ --- центр $\mathcal{O}_1$, $G$ --- центр $\mathcal{O}_2$ и расстояние между этими центрами равно сумме радиусов этих окружностей. Ну а это как раз и означает, что окружности $\mathcal{O}_1$ и $\mathcal{O}_2$ имеют внешнюю точку касания.

Таким образом, трапеция $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

С другой стороны,

$$ S_{ABCD} = \frac{3}{4} S_{\triangle AED} $$

Ну а площадь треугольника $AED$ очевидным образом зависит от выбора точки $E$ и может принимать любые значения из полуинтервала $(0, 2\sqrt{2}a^2]$.

[Батороев]

P.S.
Спасибо!

[Dimoniada]

Отличное решение!