Трудная задача по математической логике

[knkpro]

Помогите решить такую задачу:

Известно, что формула логики предикатов

\[ \varphi \]

истинна на любой интерпретации, предметной областью которой служат натуральные числа. Верно ли, что

\[ \varphi \]

общезначима?

Ответ да, нет или зависит от

\[ \varphi \]

.

В последнем случае, привести два примера.

Спасибо!

[Профессор Снэйп]

Ну оччень трудная задача, прямо сил нет

Рассмотрите формулу, которая утверждает, что в модели более одного элемента.

[knkpro]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну оччень трудная задача, прямо сил нет

Рассмотрите формулу, которая утверждает, что в модели более одного элемента.

Спасибо за помощь!
Но можете ли вы объснить подробнее об этой формуле?

[Профессор Снэйп]

knkpro писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Ну оччень трудная задача, прямо сил нет

Рассмотрите формулу, которая утверждает, что в модели более одного элемента.

Спасибо за помощь!
Но можете ли вы объснить подробнее об этой формуле?

Раз Вы задаёте такие вопросы, значит, Вы абсолютно ничего не поняли. К чему тогда спасибо, я ведь ничем не помог.

Что такое формула исчисления предикатов хоть знаете? Если да, то приведите пару примеров формул.

[knkpro]

Уже два дня и я не мог разобраться с этой задачей. Вообще, у меня нет понятия об этом. Люди добры, помогите мне!

Ответ ДА или НЕТ или ЗАВИСИТ от

\[ \varphi \]

?

Если "ЗАВИСИТ от

\[ \varphi \]

", то дайте 2 примера.

Надеюсь, что могу получить что-то из ваших ответов.

[Профессор Снэйп]

Так Вы приложите какие-то свои усилия для того, чтобы Вам помогали. Решение на блюдечко с голубой каёмочкой здесь Вам никто не принесёт.

Вам был задан прямой вопрос: дайте определение формулы исчисления предикатов или хотя бы приведите пару примеров формул. Чтобы стало ясно, что Вы понимаете, о чём вообще речь.

[knkpro]

Вот, например имеем интерпретацию

\[ I = \left\langle {D_I ,CONST,FUNC,PRED} \right\rangle \]

, формулу

\[ \varphi (x_1 ,x_2 ,...,x_n ) \]

и набор

\[ b_1 ,b_2 ,...,b_n \]

из предметной области

\[ D_I \]

.
Формула

$$ \varphi $$

истинна в

$$ I $$

если

$$ I{\text{ }}|= {\text{ }}\varphi (b_1 ,...,b_n ) $$

для

$$ \forall (b_1 ,...,b_n ) \in D_I^n $$

.
При этом

$$ I $$

называется моделью для

$$ \varphi $$

.

$$ \varphi $$

общезначима если она истинна в любой интерпретации.

В нашей задаче, множество

$$ D_I $$

состоит из натуральных чисел. Нужно проверить истинна ли

$$ \varphi $$

в любой интепретации. Как я понял, нужно привести контпример.
Но что означает "Формула, которая утверждает, что в модели более одного элемента"? В чём смысль предиката "в модели более одного элемента"? Напишите хотя бы эту формулу.

[Профессор Снэйп]

Сначала Вы напишите хотя бы одну формулу. Вы их видели? Знаете, что это такое?

То, что Вы написали --- это не формулы и не определение формулы. Зачем Вы делаете то, о чём Вас никто не просит?

[knkpro]

Могу привести ряд примеров формул исчисления предикатов:

\[ \forall x{\rm{ }}P(x) \]

$$ \varphi = \forall x_1 (P(x_1 ) \to \exists x_2 (R(x_1 ,x_2 )\& \neg P(f(x_2 )))) $$

где

\[ P,R \in PRED,f \in FUNC \]

Но мой вопрос состоит в том, как выглядить формула, которую вы предлагали? И как она влияет на данную задачу? То есть я не понимаю вашу идею.

[Профессор Снэйп]

Вот, хорошие примеры.

А теперь скажите, у Вас исчисление с равенством или без равенства? Другими словами, допустимо ли использование знака равенства в формулах. Если Вы не уверены, то просто процитируйте то место из своих лекций, где давалось определение формулы. Знаете, что такое определение?

[knkpro]

У нас исчисление без равенства. Формула либо атомарная, либо составная с использованием знаков

\[ \& , \vee ,\neg ,\forall ,\exists \]

А какую роль играет этот факт?

[Профессор Снэйп]

От того, с равенством язык или без равенства, зависит ответ на Ваш первоначальный вопрос. Если исчисление с равенством, то формулу, утверждающую, что в модели более одного элемента, написать очень просто:

$$ \exists x_1 \exists x_2 \neg(x_1 = x_2) $$

Подумайте сами над тем, истинна ли эта формула на любой модели со счётным носителем. И является ли она общезначимой.

Если же равенства нет, то, похоже, что всякая формула, истинная на любой счётной модели, таки будет общезначимой. Ибо

1) Она будет истинна на любой бесконечной модели по теореме Левенгейма-Сколема
2) Она будет истинна на любой конечной модели, так как всякую конечную модель можно получить факторизацией подходящей счётной модели.

Но это уже всё значительно сложнее предыдущего... Может, у Вас всё-таки язык с равенством, а?

[knkpro]

Сегодня я сдал последний экзамен по "Математической логике и теории множеств". На 4, конечно, т.к. без этой задачи. Но это уже отлично для меня. Успел сдать все свои долги. Завтра уже защита дипломной работы!

Огромное спасибо Профессор Снейп за вашу помощь!
А эта задача, сейчас хочу забыть. После ГОС экзамена, может быть я вернуюсь обсудить с вами!