Два определения аффинного пространства

[Vladimir Pliassov]

Приводится выдержка из учебно-методического пособия "ЛИНЕЙНЫЕ И АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ" (составитель А.В. Ершов), стр.38 .

https://mipt.ru/education/chair/mathema ... Preobr.pdf

Цитата:

Определение 3.1. Аффинным пространством называется тройка $(S, V, +)$, где $S$ — множество
(элементы которого мы будем называть “точками”), $V$ — векторное пространство и

$$+: S \times V \rightarrow S, \,\,\,\,\, (p, \textbf v) \mapsto p + \textbf v \in S \,\,\,\, p \in S, \,\,\, \textbf v \in V$$

— операция сложения точки и вектора, обладающая свойствами:

1) $p + \textbf 0 = p \,\,\, \forall p \in S$;

2) $p + (\textbf v + \textbf w) = (p + \textbf v) + \textbf w \,\,\, p \in S,\,\,\, \forall \textbf v, \textbf w \in V$ ;

3) для любой упорядоченной пары $(p, q)$ точек из $S$ существует, причем единственный, вектор
$\textbf v \in V$ такой, что $q = p + \textbf v$.

То есть каждой паре элементов, один из которых взят из $S$, а другой из $V$, ставится в соответствие элемент из $S$, причём, должен выполняться определённый набор аксиом.

Далее.

Цитата:

Если $p+\textbf v = q$, положим $\overrightarrow {pq} := \textbf v$.

В выражении $\overrightarrow {pq} = \textbf v$ заключается возможность другого определения аффинного пространства, поскольку в нем паре элементов из $S$ (паре точек) ставится в соответствие элемент из $V$, то есть аффинное пространство определяется как тройка $(S,V,\rightarrow)$, где $\rightarrow $ — функция, которая каждой упорядоченной паре элементов $p, q\in S$ ставит в соответствие вектор $\overrightarrow {pq}\in V$.

На выражение $\overrightarrow {pq}$ можно смотреть не только как на обозначение вектора, но и как на левую часть записи бинарной операции отображения пары точек $(p, q)$ в вектор $\textbf v$:

$$p \rightarrow q = \textbf v,$$

в которой знак действия $\rightarrow $ стоит не между операндами, а над ними.

Во избежание недоразумения подчеркнем, что стрелка здесь означает не отображение $p$ в $q$, а функцию $\rightarrow $, которая берется от двойного аргумента $(p, q)$.

При таком определении аффинного пространства его аксиомы должны быть заменены на другие.

Первая и третья аксиомы заменяются довольно легко: вместо $p + \textbf 0 = p $ получаем $\overrightarrow {pp} =\textbf 0$ и вместо $q = p + \textbf v$ -- $\overrightarrow {p q}=\textbf v.$

Что касается второй аксиомы, то здесь придется сделать несколько выкладок.

Нам нужно переделать уравнение $p + (\textbf v + \textbf w) = (p + \textbf v) + \textbf w$. Возьмем сначала левую часть и приравняем ее к $r \in S$:

$$p + (\textbf v + \textbf w) = r.$$

Тогда $\overrightarrow {p r}= \textbf v + \textbf w$.

Пусть $q = p + \textbf v$.

Правую часть также приравняем к $r$:

$(p + \textbf v) + \textbf w=r \Rightarrow q+\textbf w=r \Rightarrow \overrightarrow {qr} = \textbf w $.

Далее, поскольку $(p + \textbf v) =q, \,\,\,\,\,\overrightarrow {p q}=\textbf v$.

Таким образом, $\overrightarrow {p q}+\overrightarrow {qr} =\textbf v + \textbf w$, и, значит,

$$\overrightarrow {p q}+\overrightarrow {qr} =\overrightarrow {p r}.$$

Итак, в другом определении

аффинное пространство это тройка $(S,V,\rightarrow)$, где $S$ — множество (элементы которого мы называем “точками”), $V$ — векторное пространство и

$$\rightarrow: S \times S \rightarrow V, \,\,\,\,\, \overrightarrow {pq} \in V \,\,\,\, p, q \in S$$

— операция взятия функции от пары точек, обладающая свойствами:

1) $\overrightarrow {pp} =\textbf 0 \,\,\, \,\,\forall p \in S$;

2) $\overrightarrow {p q}+\overrightarrow {qr} =\overrightarrow {p r} \,\,\,\,\,\, \forall p, q, r \in S$;

3) для любой упорядоченной пары $(p, q)$ точек из $S$ существует, причем единственный, вектор $\textbf v \in V$ такой, что $\overrightarrow {p q}=\textbf v.$

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489186 писал(а):

3) для любой упорядоченной пары $(p, q)$ точек из $S$ существует, причем единственный, вектор $\textbf v \in V$ такой, что $\overrightarrow {p q}=\textbf v.$

Всё внимательно не читал, но вот это бросилось в глаза. Это неправильная формулировка. То условие, которое Вы здесь сформулировали, "спрятано" в записи

Vladimir Pliassov в сообщении #1489186 писал(а):

$$\rightarrow: S \times S \rightarrow V, \,\,\,\,\, \overrightarrow {pq} \in V \,\,\,\, p, q \in S$$

поэтому его не нужно формулировать отдельно. Зато здесь должна быть такая аксиома: для каждой точки $p\in S$ и каждого вектора $\mathbf v\in V$ существует, и притом единственная, точка $q\in S$ такая, что $\overrightarrow{pq}=\mathbf v$.
Содержательно эта аксиома означает, что любой вектор можно отложить от любой точки (единственным образом).

[Vladimir Pliassov]

Someone в сообщении #1489194 писал(а):

здесь должна быть такая аксиома: для каждой точки $p\in S$ и каждого вектора $\mathbf v\in V$ существует, и притом единственная, точка $q\in S$ такая, что $\overrightarrow{pq}=\mathbf v$.
Содержательно эта аксиома означает, что любой вектор можно отложить от любой точки (единственным образом).

Спасибо. Да, теперь вижу. Жаль, не могу исправить - час уже прошел.

[Someone]

Да, и на будущее.

Vladimir Pliassov в сообщении #1489186 писал(а):

$$\rightarrow: S \times S \rightarrow V, \,\,\,\,\, \overrightarrow {pq} \in V \,\,\,\, p, q \in S$$

Запись "$f\colon A\to B$", или "$f\colon A\mapsto B$" есть сокращение фразы "$f$ есть отображение множества $A$ в множество $B$", или, в более подробном варианте, "каждому элементу $a\in A$ поставлен в соответствие некоторый элемент $b\in B$, обозначаемый $f(a)$" (или $fa$, или ещё как-нибудь, но в случае нестандартного синтаксиса его нужно пояснить). В свою очередь, запись "$A\times B$" в обсуждаемом контексте стандартно обозначает множество всех упорядоченных пар $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$, поэтому упоминание $\overrightarrow {pq} \in V \,\,\,\, p, q \in S$ является избыточным. Однако стоило бы написать $\rightarrow\colon S\times S\mapsto V$, чтобы одна и та же стрелка не использовалась в двух разных смыслах.
P.S. Для широких пробелов (и не только широких) есть специальные команды, например, \quad или \qquad ($|\quad|\qquad|$). Подробнее есть в https://dxdy.ru/post443191.html#p443191, но и там не всё.

[Vladimir Pliassov]

Someone

1.

Someone в сообщении #1489206 писал(а):

запись "$A\times B$" в обсуждаемом контексте стандартно обозначает множество всех упорядоченных пар $(a,b)$, где $a\in A$ и $b\in B$, поэтому упоминание $\overrightarrow {pq} \in V \,\,\,\, p, q \in S$ является избыточным.

2.

Someone в сообщении #1489206 писал(а):

Однако стоило бы написать $\rightarrow\colon S\times S\mapsto V$, чтобы одна и та же стрелка не использовалась в двух разных смыслах.

Спасибо, понял и то, и другое.

Someone в сообщении #1489206 писал(а):

P.S. Для широких пробелов (и не только широких) есть специальные команды, например, \quad или \qquad ($|\quad|\qquad|$). Подробнее есть в https://dxdy.ru/post443191.html#p443191, но и там не всё.

Спасибо, воспользуюсь.

Не могли бы Вы посмотреть следующую выдержку из сообщения и сказать свое мнение?

Цитата:

На выражение $\overrightarrow {pq}$ можно смотреть не только как на обозначение вектора, но и как на левую часть записи бинарной операции отображения пары точек $(p, q)$ в вектор $\textbf v$:

$$p \rightarrow q = \textbf v,$$

в которой знак действия $\rightarrow $ стоит не между операндами, а над ними.

Во избежание недоразумения подчеркнем, что стрелка здесь означает не отображение $p$ в $q$, а функцию $\rightarrow $, которая берется от двойного аргумента $(p, q)$.

[Someone]

Vladimir Pliassov в сообщении #1489186 писал(а):

На выражение $\overrightarrow {pq}$ можно смотреть не только как на обозначение вектора, но и как на левую часть записи бинарной операции

В принципе можно, но такое употребление термина "операция" конфликтует с определением операции в общей алгебре. Лучше использовать термин "отображение" или "функция" (их обычно рассматривают как синонимы). Даже умножение вектора на число в линейной алгебре нехорошо называть операцией, потому что это оператор (свой для каждого числа), и не согласуется с определением операции. Просто уберите слова "бинарная операция" из процитированной части, поскольку дальше у Вас идёт правильный термин "отображение".

[Vladimir Pliassov]

Someone

Спасибо!