2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 15:22 


24/03/09
505
Минск
Рассмотрим бесконечное множество натуральных чисел. В этом множестве существуют подмножества чисел, с разными характеристиками.
Заметил, что обычно, такие подмножества,

1) или тоже бесконечны (либо возможно бесконечны, но это не доказано). Пример - множество простых чисел. Или множества простых чисел-близнецов (разность между ними $2$). Или, множество простых-триплетов, простых-квадруплетов. Или множество чисел, которые кратны $5$. Короче, множество чисел с некоторыми характеристиками.

2) или множества конечны, но численность таких чисел очень мала. Пример - множество троек простых чисел, у которых разность $4$. Ответ - такая тройка $3,5,7$, их конечное количество , но очень мало.

Задают вопрос. А существует ли некая интересная характеристика , для натуральных чисел, по которой - множество таких чисел будет лишь конечным, но очень большим?
Т.е. математики доказали, что например "таких-то" чисел, с такой характеристикой, точно лишь конечное количество, но это количество огромно, например более чем $10^{100}$ ?

PS Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине. Хотелось бы про числа с некими интересными характеристиками почитать. И доказательства, как доказали что их лишь конечное количество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 15:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8202
Цюрих
Разные объекты из теории Рамсея - допустимые размеры каких-то объектов, в которых нет какой-то подструктуры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 15:39 


24/03/09
505
Минск
Спасибо. Т.е. "чисел Рамсея" - очень большое но лишь конечное количество (и это доказано)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 15:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8202
Цюрих
Нет, не сами числа Рамсея. Например допустимых размеров графа, в котором нет ни клики, ни независимого множества размера $k$, конечное число, но довольно много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 16:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10323
Skipper в сообщении #1488649 писал(а):
А существует ли некая интересная характеристика , для натуральных чисел, по которой - множество таких чисел будет лишь конечным, но очень большим?

Как обычно, на редкость малосодержательный вопрос.

Вот Вам "характеристика": Меньше числа Грэма. Множество таких чисел конечное, но очень большое. Встречный вопрос таков: Насколько это "интересно"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 16:47 


24/03/09
505
Минск
epros
Цитата:
Вот Вам "характеристика": Меньше числа Грэма.


Предвидя такие ответы, я же написал в первом сообщении (и всё равно остаётся незамеченным) -

Цитата:

А существует ли некая интересная характеристика ,
...
Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине.


Цитата:
Насколько это "интересно"?


Интересно почитать доказательства, связанные с тем, что вот таких то натуральных чисел, с такими то характеристиками - лишь конечное количество.
Поэтому в определении "меньше числа N" интереса нет.

-- Пт окт 23, 2020 15:56:57 --

mihaild в сообщении #1488657 писал(а):
Например допустимых размеров графа, в котором нет ни клики, ни независимого множества размера $k$, конечное число, но довольно много.


Это из теории графов. А есть ли какие нибудь характеристики именно из теории чисел, с доказательством, что их очень много но лишь конечное количество ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение23.10.2020, 17:37 


21/05/16
4292
Аделаида
A059933 подойдёт?

-- 24 окт 2020, 01:15 --

Или A001272?

-- 24 окт 2020, 01:20 --

А A079485?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение24.10.2020, 01:29 


24/03/09
505
Минск
kotenok gav в сообщении #1488690 писал(а):
Или A001272
?


Да, это интересно. На английском написано, буду переводить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение26.10.2020, 09:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10323
Skipper в сообщении #1488676 писал(а):
Интересно почитать доказательства, связанные с тем, что вот таких то натуральных чисел, с такими то характеристиками - лишь конечное количество.
Поэтому в определении "меньше числа N" интереса нет.

Есть такие подмножества, про которые вообще не доказано и не опровергнуто, что их конечное количество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение26.10.2020, 15:21 


24/03/09
505
Минск
epros в сообщении #1489171 писал(а):
Есть такие подмножества, про которые вообще не доказано и не опровергнуто, что их конечное количество.


Да.
И есть, такие, про которые доказано что их бесконечное количество.

Но , такие, про которые доказано что их конечное количество - либо само количество очень мало (потому и доказательство элементарное). Либо, их количество очень большое, и доказательство интересное, но таких случаев то ли мало, то ли вообще нет - особенно если характеристика из области множества чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение26.10.2020, 22:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
11487
Skipper в сообщении #1488649 писал(а):
Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине. Хотелось бы про числа с некими интересными характеристиками почитать.
А откуда числа узнают, что они интересные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение28.10.2020, 16:43 


24/03/09
505
Минск
Утундрий в сообщении #1489312 писал(а):
Skipper в сообщении #1488649 писал(а):
Характеристика "все числа меньше $N$", это не характеристика вовсе, по понятной причине. Хотелось бы про числа с некими интересными характеристиками почитать.
А откуда числа узнают, что они интересные?


Я же писал, разница в том, что доказательства утверждений о конечном количестве каких то чисел, с какими то характеристиками неинтересное (и очень простое) -

1) чисел, меньших чем число Грэма - лишь конечное количество (это вообще не доказательство), или
2) троек простых чисел, на интервале не более чем $4$, лишь конечное количество ($2,3,5$, и тройка $3,5,7$, больше таких троек нет) .

А вот к примеру, доказательство следующего утверждения было бы интересным -

3) простых чисел-триплетов (троек простых, на интервале $6$, например $11,13,17$) лишь конечное количество. Потому что их много в любом случае.

Неужели трудно понять, что я хочу донести?

UPD: Доказательства из области теории чисел, утверждающие что неких чисел (с какими то характеристиками) 1) бесконечно много , 2) либо их очень мало - есть.
Но доказательства утверждений из теории чисел, 3) что неких чисел (с какими то характеристиками) - лишь конечное количество , но их очень много - я вообще таких не видел!

-- Ср окт 28, 2020 15:59:32 --

Единственное доказательство, которое я встречал , и претендовавшее на это, было частичное доказательство Виноградова, слабой (тернарной ) гипотезы Гольдбаха -
"что любое достаточно большое нечётное число может быть представлено в виде суммы трёх простых".

Это можно было бы переформулировать так - "нечётных чисел, которых нельзя представить в виде суммы трёх простых - лишь конечное количество".
Но, как оказалось их нет вовсе (доказано Харальдом Гельфготтом). В очередной раз, теория чисел выдала результат - что конечное количество неких чисел с какими то характеристиками, либо очень мало, либо их и вовсе нет, как в данном случае.

Я думал, ну может быть, конечное количество из области теории чисел (т.е. натуральных) - будет например, численность простых-чисел-близнецов (пар на интервале $2$), или простых-триплетов, или простых-квадруплетов, или простых-квинтуплетов, и т.д. Но это не то что не доказано, а как оказалось, существует гипотеза (Харди-Литтлвуда), что любых всех этих подобных кортежей, и вовсе бесконечное количество.. :roll:

1) либо нет чего то, 2) либо очень малое количество, 3) либо бесконечное количество .
Есть чего то в математике из теории чисел доказанное - 4) таких-то чисел очень много, но их конечное количество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение28.10.2020, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8202
Цюрих
Так а чем вас не устраивают примеры из теории Рамсея? Там как раз утверждения вида "все достаточно большие объекты удовлетворяют такому-то свойству".

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение28.10.2020, 17:22 


24/03/09
505
Минск
Теория Рамсея интересна, и разбираюсь. Просто спросил, может из теории чисел ещё есть подобные случаи и доказательства?

UPD: написано что теория Рамсея - это раздел математики "комбинаторика".

 Профиль  
                  
 
 Re: Каких натуральных чисел очень большое но конечное количество
Сообщение28.10.2020, 17:26 


01/07/08
836
Киев
Skipper в сообщении #1488649 писал(а):
Или множество чисел, которые кратны $5$.

Множество натуральных чисел и его подмножество, числа кратные $5$, как известно имеют одинаковую мощность, по Кантору эти множества равны. Вам не нужно искать некое множество. Берите любое доказательство бесконечности множества натуральных чисел и исследуйте. :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group