Замкнутость множества граничных точек

[wrath]

Задание: показать, что множество граничных точек любого множества Е (Е подмножество R^n), является замкнутым множеством.
Доказательство:От противного. Предположим, что существут предельная точка Х(т.е.множество предельных точек незамкнуто), не принадлежащая множеству граничных точек. В ее окрестности сожержица хотя бы одна граничная точка, => в ее окрестности сожержатся как точки принадлежещие множеству граничных точек, так и нет => по опрелению граничной точки Х тоже будет граничной точкой и будет принадлежать множеству граничных точек => противоречие и множество замкнуто.
Если што неправильно, плз исправьте.

При перемещении в тематический раздел заголовок изменен на более информативный. Первоначальный: "Проверьте плз доказательство". / GAA

[Brukvalub]

А не проще рассмотреть дополнение к объединению двух открытых множеств - множества внутренних и множества внешних точек?

[wrath]

А если взять мое доказательство, то в нем все правильно? или што то нада подправить?

[ewert]

Вообще-то смотря что изначально называть граничными точками. Мне кажется, наиболее разумно определять границу как разность между замыканием и внутренностью области. Тогда замкнутость границы почти тривиальна.

А так -- вроде всё верно, но неаккуратно. Оригинал:

Цитата:

Предположим, что существут предельная точка Х(т.е.множество предельных точек незамкнуто), не принадлежащая множеству граничных точек. В ее окрестности сожержица хотя бы одна граничная точка, => в ее окрестности сожержатся как точки принадлежещие множеству граничных точек, так и нет

А вот как, на мой взгляд, надо:

Цитата:

Пусть x -- предельная точка границы. В сколь угодно малой её окрестности содержится хоть одна точка границы -- а значит, в удвоенной окрестности содержатся как точки, принадлежащие исходному множеству, так и не принадлежащие. Следовательно, точка x -- граничная.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

А вот как, на мой взгляд, надо:
Цитата:
Пусть x -- предельная точка границы. В сколь угодно малой её окрестности содержится хоть одна точка границы -- а значит, в удвоенной окрестности содержатся как точки, принадлежащие исходному множеству, так и не принадлежащие. Следовательно, точка x -- граничная.

А вот как надо на мой взгляд:
Пусть x -- предельная точка границы. Возьмем произвольную круговую окрестность этой точки и уменьшим ее радиус вдвое. В "половинной" окрестности содержится хоть одна точка границы -- а значит, в самой окрестности содержатся как точки, принадлежащие исходному множеству, так и не принадлежащие. Следовательно, точка x -- граничная.

[ewert]

Это то же самое, только слово "круговая" -- неудачно (хотя и приемлемо), т.к. и утверждение, и док-во верно для любых метрических пространств. (Боюсь сказать "и даже для топологических" -- в топологии не разбираюсь.)

[Brukvalub]

Во-первых, я, в отличие от вас, проверял определение, во-вторых, в условии оговорено пространство:

wrath писал(а):

(Е подмножество R^n)

, в-третьих, в любом метрическом пространстве есть понятие круговой (шаровой) окрестности, в-четвертых, не нужно противоречить хотя бы самому себе, иначе становится интересно, как это понимать:
[quote="ewert"...а значит, в удвоенной окрестности....[/quote] (выделение - мое)

[ewert]

ну ладно, ладно, уговорили, пошёл посыпать голову пеплом

[Someone]

Доказательство для произвольного топологического пространства $X$. Чтобы была аналогия с обсуждавшимися доказательствами, я буду предполагать, что для каждой точки $x\in X$ выбрана некоторая база топологии $\mathcal B_x$ в точке $x$, элементы которой называются окрестностями точки $x$ (в случае метрического пространствоа в качестве такой базы обычно берётся множество открытых шаров с центром в данной точке или часть этого множества, содержащая шары сколь угодно малого радиуса).

Пусть $A\subseteq X$ - некоторое множество, $Fr_XA$ - его граница, $x_0\in X$ - точка прикосновения множества $Fr_XA$. Берём любую окрестность $Ux_0\in\mathcal B_{x_0}$ точки $x_0$. Так как $x_0$ - точка прикосновения множества $Fr_XA$, то найдётся точка $x_1\in Ux_0\cap Fr_XA$. Так как $\mathcal B_{x_1}$ - база топологии пространства $X$ в точке $x_1$, найдётся окрестность $Ux_1\in\mathcal B_{x_1}$, удовлетворяющая условию $U_{x_1}\subseteq U_{x_0}$. Поскольку $x_1\in Fr_XA$, выполняются условия $U_{x_1}\cap A\neq\varnothing$ и $U_{x_1}\setminus A\neq\varnothing$. Тем более $U_{x_0}\cap A\neq\varnothing$ и $U_{x_0}\setminus A\neq\varnothing$. Поэтому $x_0\in Fr_XA$. Таким образом, множество $Fr_XA$ содержит все свои точки прикосновения и, следовательно, замкнуто.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Чтобы была аналогия с обсуждавшимися доказательствами, я буду предполагать, что для каждой точки $x\in X$ выбрана некоторая база топологии $\mathcal B_x$ в точке $x$, элементы которой называются окрестностями точки $x$ (в случае метрического пространствоа в качестве такой базы обычно берётся множество открытых шаров с центром в данной точке или часть этого множества, содержащая шары сколь угодно малого радиуса).

А начерта Вам база топологии? Почему бы с самим фильтром окрестностей не работать? То есть оставить то же самое, но называть "окрестностями" не элементы базы фильтра, а сами элементы фильтра окрестностей.

Добавлено спустя 2 минуты 58 секунд:

Упс, пардон, понял. Вам нужны открытые окрестности. То есть наличие в каждой точке базы фильтра окрестностей, состоящей из открытых множеств.

Кстати, я вот уже точно не помню, чем топология отличается от предтопологии. Случайно не этим самым (наличием у каждой точки базы фильтра окрестностей, состоящей из открытых множеств)?

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

А начерта Вам база топологии? Почему бы с самим фильтром окрестностей не работать? То есть оставить то же самое, но называть "окрестностями" не элементы базы фильтра, а сами элементы фильтра окрестностей.

В топологии обычно окрестностью точки или множества называют любое открытое множество, содержащее данную точку или множество. Если я буду употреблять термин "окрестность" в таком смысле, то доказательство замкнутости границы сильно упростится и будет меньше похоже на то, что излагали предшественники. Для придания некоторого сходства я и ввёл эти базы.

Что касается использования окрестностей, не являющихся открытыми множествами, то оно вполне возможно, но, как правило, не практикуется, так как обычно усложняет рассуждения.

Профессор Снэйп писал(а):

Кстати, я вот уже точно не помню, чем топология отличается от предтопологии. Случайно не этим самым (наличием у каждой точки базы фильтра окрестностей, состоящей из открытых множеств)?

Этим самым (С.С.Кутателадзе. Основы функционального анализа. Глава 9).