Теорема Рисса наоборот

[AD]

Теорема Рисса(-Маркова) говорит, что всякий непрерывный функционал $\phi$ на $C[0,1]$ задается в виде $\phi(x)=\int\limits_0^1x(t)\,d\Phi(t)$, где $\Phi\in\mathrm{VB}_0[0,1]$ определяется однозначно.

А верно ли "наоборот"? То есть верно ли, что всякий непрерывный функционал $\psi$ на $\mathrm{VB}_0$ задается тоже каким-нибудь интегралом Римана-Стилтьеса, типа $\psi(y)=\int\limits_0^1\Psi(t)\,dy(t)$, где $\Psi(t)\in C[0,1]$?

Добавлено спустя 19 минут 50 секунд:

То есть спрашивается, рефлексивно ли пространство $C[0,1]$.

Но устроят и такие варианты, что типа всякий непрерывный функционал $\psi$ на $\mathrm{VB}$ задается тоже каким-нибудь интегралом Римана-Стилтьеса, типа $\psi(y)=\int\limits_0^1y(t)\,d\Psi(t)$, где $\Psi(t)\in C_0[0,1]$ (то есть непрерывные функции с точностью до константы)

[Brukvalub]

Мне помнится, что в первом томе Данфорда и Шварца есть целые страницы с таблицами пространств, сопряженных к разным функциональным пространствам. Может, для начала, туда заглянуть?

[AD]

Почитал немного.

Данфорд и/или Шварц писал(а):

По-видимому, не известно никакого вполне удовлетворительного описания пространств, сопряженных к $ba(S,\Sigma)$, $ca(S,\Sigma)$ или $rca(S,\Sigma)$, а также пространств, сопряженных к $NBV(I)$ и $BV(I)$, изометрически изоморфных пространствам с мерой.

Brukvalub Спасибо!

[Brukvalub]

Резюмирую: В отличие от А. Македонского, который волновался, что его отец завоюет весь мир, и ему нечем будет заняться, Вам, AD еще есть, где приложить силушку молодецкую!

[AD]

Нет, ну все-таки, мне кажется, что я где-то читал, что пространство $C[0,1]$ не рефлексивно. Ну хоть какой-то workaround есть по этим штукам? Типа примеры приводятся на мои воздушные замки, наверное? Ну функционалов, которые не задаются в таком виде.

[Brukvalub]

Мне сие неизвестно...

[ewert]

AD писал(а):

Нет, ну все-таки, мне кажется, что я где-то читал, что пространство $C[0,1]$ не рефлексивно.

Увы, и впрямь не рефлексивно. Классический контрпример -- функционал, ставящий в соответствие каждой функции ограниченной вариации её скачок в некоторой наперёд зафиксированной точке.

[AD]

Клёво ... Пища для размышлений на ... завтра, что-ли ...

[zoo]

AD писал(а):

Нет, ну все-таки, мне кажется, что я где-то читал, что пространство $C[0,1]$ не рефлексивно.

конечно нерефлексивно. Рассуждать можно так. Берем какую-нибудь ограниченную последовательность непрерывных функций которая сходится (поточечно) на отрезке [-1,1] к функции
$g(x)=-1$ если $x\in[-1,0]$ и $g(x)=1$ если $x\in(0,1]$.
Предположим, что $C[-1,1]$ рефлексивно, тогда из этой последовательности можно извлечь слабо сходящуюся подпоследовательность. Теперь берем непрерывный линейный функционал $\delta_u:C[-1,1]\to \mathbb{R}$, $\delta_uf=f(u).$ С помощью таких функционалов можно показать, что наша слабосходящаяся подпоследовательность сходится поточечно к непрерывной функции. Противоречие

[икс и грек]

Как можно представить функционал $F(f)=f(0)=\delta _0 \in C^*[-1,1]$ в виде $\int _{-1}^1 f(x) d \mu (x)$, где $\mu$ - борелевская мера на $[-1,1]$? Как определить что это будет за $\mu$?