Зачем нужно универсальное свойство?

[SNet]

Универсальное свойство в книжке покамест было определено без функторов: объект называется универсальным, если он является терминальным в какой-либо категории. И далее автор пишет, что эта вещь позволяет не строить одно и то же, а смотреть на всё с одной и той же колокольни. Далее он использует этот подход для мотивировки построения новых объектов (здесь возникают такие общие объекты, как произведение и копроизведение в категориях). Однако в каждый из разов мы всё же строит новый объект заново. Например, когда он обсуждает способы построения свободной группы, то подводит к тому, что она должна удовлетворять определённому универсальному свойству, а далее он просто строит её с нуля как группу слов. Так зачем здесь нужно было универсальное свойство, если всё равно всё строим с 0? И в конце концов, разве мы не можем слепить такую категорию, что любая заданная конструкция будет в ней терминальным объектом?

[demolishka]

Я не категорщик, но на мой взгляд тут ситуация такая. Универсальное свойство дает единственность. Но существование надо доказывать (каждый раз (=в каждой категории) заново). А общая колокольня тут такая: предположим, что универсальный объект есть. Тогда можно подоказывать про него какие-то общие утверждения.

[george66]

А потому что не в каждой категории есть терминальный объект. Мы определяем свободную группу как объект с некоторыми свойствами, но надо ещё доказать, что он есть. Свободных полных решёток, кажется, вообще не бывает.