Доказать, что С является интегралом движения

[glissade]

Здравствуйте!
Задачка такая:
Показать, что для материальной точки, движущейся в центрально-симметричном поле $U(r)$ $= -\frac{\alpha}{r}$ , сохраняется вектор $\vec{C} = \vec{V}\times\vec{L} -\frac{\alpha\vec{r}}{r}$. Определить расположение вектора $\vec{C}$ относительно
орбиты точки.

Очевидно, что векторное произведение $\vec{V}\times\vec{L}$ равно нулю. Остаётся последний член: $-\frac{\alpha\vec{r}}{r}$. Это, как я понимаю, единичный вектор, умноженный на $-\alpha$. Можно ли утверждать, что он постоянен во времени?..

[Eule_A]

glissade в сообщении #1486492 писал(а):

Очевидно, что векторное произведение $\vec{V}\times\vec{L}$ равно нулю.

В самом деле? Почему?

[glissade]

Потому что угол между вектором $\vec{L}$ и вектором $\vec{V}$ равен нулю, а значит и синус равен нулю

[Eule_A]

glissade
Я как-то полагал, что $\vec{L}$ - это момент импульса (Вы явно этого не указали). Я ошибаюсь?

[glissade]

Вы не ошибаетесь, $\vec{L}$ - это момент импульса

[Eule_A]

glissade в сообщении #1486497 писал(а):

$\vec{L}$ - это момент импульса

glissade в сообщении #1486495 писал(а):

угол между вектором $\vec{L}$ и вектором $\vec{V}$ равен нулю

Если Вы не видите противоречия, то я, пожалуй, предоставлю продолжать другим.

[glissade]

$\vec{L} = m\vec{V}$ - они же сонаправлены, разве нет?..

[Lia]

glissade
Это не момент импульса, это импульс, $m\vec{V}$.

[Утундрий]

glissade в сообщении #1486499 писал(а):

$\vec{L} = m\vec{V}$

Это не тот момент. Положите его обратно и возьмите правильный.

[glissade]

Оу, извиняюсь за глупость
сейчас переделаю....

-- 09.10.2020, 23:01 --

Я сначала расписал это произведение ( $\vec{V}\times\vec{L}$ ) так:
Представил $\vec{L}$ как векторное произведение $\vec{r} \times \vec{mV} $, а затем расписал полученное выражение по формуле "БАЦ-ЦАБ".
Так как мне нужно доказать постоянность, я дифференцирую эту величину по времени, всё преобразовываю и в конце получается такое:

$mr(\dot{r}\ddot{\vec{r}}-\ddot{r}\dot{\vec{r}}) = \frac{d}{dt}(\vec{V}\times\vec{L})$

Теперь появился вопрос. В левой части выражение равно нулю?

[Eule_A]

glissade в сообщении #1486502 писал(а):

а затем расписал полученное выражение по формуле "БАЦ-ЦАБ"

Зачем? Разве без этого плохо дифференцируется? Лучше не нужно.

[Утундрий]

Не все условия использованы.

[Pphantom]

glissade, будет лучше, если вы напишете то, что успели сделать, последовательно от начала до конца. В выполняемых вами действиях при желании можно усмотреть смысл, но ниоткуда не следует, что вы делали и подразумевали именно то, что нужно было, а по имеющимся отрывкам можно сказать лишь то, что вы бродите где-то в окрестности правильного решения.

[glissade]

Пока что я сделал только это.
Ну мне нужно показать, что это есть интеграл движения, т.е. вектор $\vec{C}$ постоянен во времени. По этой причине я дифференцирую его именно по времени ( выше я дифференцировал первый член ), со вторым разберусь после того как я сделаю первый.
Что я делал с $\vec{V}\times\vec{L}$ я описал выше.

[DimaM]

glissade в сообщении #1486492 писал(а):

Остаётся последний член: $-\frac{\alpha\vec{r}}{r}$. Это, как я понимаю, единичный вектор, умноженный на $-\alpha$. Можно ли утверждать, что он постоянен во времени?..

Нет, конечно. Он по длине-то единичный, но меняет свое направление.

Как разберетесь с постоянством во времени, попробуйте найти, чему этот вектор равен.
Ну и этот вектор (умноженный на $m$) в традиции принято обозначать буквой $\vec{A}$, а зовется он вектором Лапласа-Рунге-Ленца.