Еще одно свойство биномиальных коэффициентов

[artempalkin]

При решении одной задачи потребовалось свойство биномиальных коэффициентов, которое раньше не встречал

$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\cdot k^n\cdot C_n^k=n!$

Классное и интересное свойство. Я задумался над его комбинаторным смыслом, а ведь такой должен быть (комбинаторные доказательства таких формул всегда гораздо нагляднее арифметических).

Справа стоит число перестановок. Слева, учитывая, что знаки будут чередоваться, вероятно формула "включений и исключений". Но пока конкретно придумать не смог. Может быть, у кого-то есть идеи?

[nnosipov]

artempalkin в сообщении #1486426 писал(а):

Может быть, у кого-то есть идеи?

Идей нет, но я знаю ответ: нужно подсчитать число сюръективных отображений из одного конечного множества в другое конечное множество.

[Slav-27]

Слева $\left(x\frac d{dx}\right)^n\Big|_{x=1}(x-1)^n$.

[Null]

$\Delta^nx^n=n!$-конечные разности.
Получим для любого $l$
$\sum\limits_{k=0}^n(-1)^{n-k}\cdot (k+l)^n\cdot C_n^k=n!$

[RIP]

(Оффтоп)

Slav-27 в сообщении #1486441 писал(а):

Слева $\left(x\frac d{dx}\right)^n\Big|_{x=1}(x-1)^n$.

Если сделать стандартную замену $x=\mathrm{e}^{t}$, то сразу получается ответ:

\[ \left.\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)^n\left(\left(\mathrm{e}^t-1\right)^n\right)\right\rvert_{t=0} =\left.\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\right)^n\left(t^n+\dotsb\right)\right\rvert_{t=0}=n!. \]

Более общо, можно продифференцировать $\mathrm{e}^{lt}\left(\mathrm{e}^t-1\right)^n$.

[TOTAL]

$$\sum\limits_{k=0}^n \dfrac{F(k)}{\omega'(k)}=\dfrac{F^{(n)}(\theta)}{n!}, \; \; \omega(x)=x(x-1)\cdots(x-n)$$

Это разделённая разность порядка $n$ функции $F(x)$ по узлам $0, 1, \dots, n$
При $F(x)=x^n$ получается "еще одно свойство биномиальных коэффициентов"

[DeBill]

artempalkin
Объем "пирамидки", отсекаемой плоскостью $x_1+...+x_n=c$ от "угла" $\{x_1\geqslant 0,...,x_n\geqslant 0\}$, равен $\frac{c^n}{n!}$.
Поэтому, по формуле включений-исключений, объем части единичного куба $\{0\leqslant x_1 \leqslant 1,..., 0\leqslant x_n \leqslant 1\}$, лежащей ниже плоскости $x_1+...+x_n=n$ (т.е., всего куба), равен Вашей сумме, деленной на $n!$. Но объем этот равен 1....