Магнитный диполь: движение и вращение

[profilescit]

В трехмерном пространстве среда с магнитной проницаемостью $\mu_r > 1$ занимает пространство $x > 0$, остальное пространство - вакуум.

Магнитный диполь с магнитным моментом $m$ находится в точке $(-d,0,0)$ и расположен вдоль положительного направления оси X.
Считайте диполь идеальным (его размеры очень малы по сравнению со всеми другими размерами)

а) Найти силу необходимую чтобы удержать диполь на месте
b) Найти энергию необходимую чтобы медленно переместить диполь в минус бесконечность
c) Найти энергию необходимую чтобы повернуть диполь на угол $\theta$ с осью Х
После того как диполь повернули на угол $\theta$, сверх-проводимое кольцо радиуса $R$ и индукции $L$ перемещено из бесконечность (с нулевым начальным током) так что диполь на находится в центре кольца и ось кольца это ось X. Пусть $R$ на много больше $d$
d) Найти ток в кольце
е) Найти силу необходимую чтобы удержать диполь на месте
Теперь нет никакой среды с магнитной проницаемостью, все происходит в вакууме.
Этот диполь, с массой $M$ начинает движение с начальной скоростью $v_0$на расстоянии $h$ от центра кольца и направление движения к центру кольца.
f)Найти скорость диполя как функцию расстояние от центра кольца. Гравитацию игнорируем
Теперь диполь находится на оси бесконечно длинного тонкого цилиндра радиуса $R$ c поверхностной проводимостью $\sigma$ (отношение плотности поверхностного тока к электрическому полю)
Оказывается что движение диполя является затухающим.
g)Найти коэффициент затухания движения (отношение силы сопротивления к скорости). Игнорируем гравитацию
h)Теперь гравитация присутствует. Найти конечную скорость диполя

Вот такую вот задачку нашел чтобы по полочкам разложить себе несколько тем: Взаимодействие диполей, взаимную индуктивность и метод изображения в "магнитном варианте"

В попытке решения превого пункта, используя граничные условия для двух сред (нормаль вектора магнитной индукции и тангенциальная компонента вектора напряженности магнитного поля сохраняются), пришел к выводу что вектор магнитной индукции имеет модуль в вакууме
$B_1 = - \frac{\mu_r-1}{\mu_r+1}B_0$ где $B_0 = \frac{\mu_0 m}{2 \pi x^3}$
Если это я осознаю и понимаю неплохо, то вот дальше немного проблематично
Для решения задачи используется метод изображений, где мы воображаем точно такой же диполь в точке $(d,0,0)$
И используя знакомую формулу $F = m \frac{d B}{d x}$ находим силу $F = \frac{3 \mu_0 (\mu_r-1) m^2}{32 \pi (\mu_r+1)}$

Сам вопрос: мы используем изображение диполя потому что в таком случае вектор индукции магнитного поля выходит таким-же и по теореме единства это решение верно?

Пункт b я тоже решил, просто написал что $dW = F dx $, интегрируя получается ответ $W = \frac{\mu_0 (\mu_r - 1)m^2}{32 \pi (\mu_r+1) d^3}$

А вот при решении пункта c возникли трудности еще больше: нашел формулу для потенциальной энергии взаимодействия системы диполь-диполь:
$U = - \frac{\mu_0 m_1 m_2}{4 \pi r^3} (\cos{\theta_{1,2}} - 3 \cos{\theta_1} \cos{\theta_2})$
Где $\theta_{1,2} = 2 \theta$ и $\theta_{1} = \theta_{2} = \theta$
В таком случае получаю ответ $U = \frac{\mu_0 m_1 m_2}{4 \pi r^3} (1 + \cos^2{\theta}) $ хотя правильно будет $\frac{\mu_0 m_1 m_2}{4 \pi r^3} \sin^2{\theta}$

Тут я остановился, ведь дальше тьмы все больше и больше...
Прошу понять, простить и помочь