Количество уникальных элементов

[Daniil_Sh]

Пусть задано натуральное число $N$ и $X=\{1,2,...,N\}$. Рассмотрим случайную величину с дискретным равномерным распределением $\mathcal{U}\{1,N\}$ и выпишем $N$ её реализаций. Тогда можно определить преобразование $T:X \rightarrow X$. В $T(X)$ количество уникальных элементов в среднем равно $N\cdot(1-(1-\frac{1}{N})^N)\approx N\cdot(1-\frac{1}{e})$. Сколько уникальных элементов в $T^2(X)$ (какая часть от мощности множества $X$)? В $T^k(X)$? Для $T^2(X)$ экспериментально получено, что $|T^2(X)|\approx 0.46\cdot |X|$.