подготовка к олимпиаде 2

[rsoldo]

A sequence $\{a_{n}\}$ is defined recursively as follows:

$a_{n+1}=\left(2+\frac{2}{n}\right)a_{n}-1$.

Compute $a_{1}$ such that a sequence is convergent.

[gris]

Видно, что сходиться должна к единичке монотонно возрастая. Мне кажется, что есть только один такой стартовый член, где-то недалеко от половинки. И найти его можно через требования монотонности и ограниченности единичкой сверху

[worm2]

Можно вычислить $a_n$ явно, введя $b_n$ по формуле $a_n=n 2^n b_n$, условие $b_n\to 0$ однозначно определит $b_1$ и $a_1$.