Деформируем контур, совершаем работу.

[Ignatovich]

Источник постоянной ЭДС $\varepsilon$ включен в проводящий контур, общее сопротивление которого R , а индуктивность L. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы, деформируя контур, за время T уменьшить его индуктивность в n раз? Сопротивление контура при его деформации остается постоянным.

[AnatolyBa]

Все ли оговорено? Например, начальные условия?
Если с начальными условиями можно играть, то мой ответ 0. Наверное, это не то, что вы имели в виду.

[Ignatovich]

Ток через катушку $I=\varepsilon/R$ при $t<0$ и при $t>T$.

[EUgeneUS]

Получилось компактное выражение для мощности внешних сил:

$P_{BH} = \frac{ I^2 \dot{L}}{2}$

[realeugene]

Подключим непосредственно к источнику ЭДС электромотор, который будет быстро изменять геометрию контура. Никакой внешней работы не совершается, а индуктивность контура изменяется произвольно быстро. Бинго! ;)

[Ignatovich]

realeugene в сообщении #1485924 писал(а):

Подключим непосредственно к источнику ЭДС электромотор, который будет быстро изменять геометрию контура. Никакой внешней работы не совершается, а индуктивность контура изменяется произвольно быстро. Бинго! ;)

Конечно, коммутировать схему нельзя. Иначе и мотор не нужен: отключил источник, деформировал контур и работа нулевая. ЭДС источника в контуре остается неизменной, а мы можем деформировать контур, например, растягивая витки проволочной катушки, подключенной к источнику.

[chislo_avogadro]

(К вопросу о нахождении минимальной работы деформации контура с целью уменьшения его индуктивности в $n$ раз при заданном времени деформации)

Перепишем уравнение (79.8) для баланса энергии у Тамма следующим образом (используется $\varepsilon= IR$)
$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt}$
Где $i -$ добавка тока контура при его деформации. Из физической ситуации ясно, что она в среднем положительна.
$-A \thickspace-\thickspace $ искомая работа.

Среднее добавки тока можно найти из $\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}=-iR},$ получается $i_\text{ср}=\displaystyle{I(1-\frac{1}{n})\frac{L}{RT}}.$

То есть, средний ток не зависит от способа деформации.

Теперь задача сводится к нахождению минимума от выписанного интеграла при заданном среднем токе.
Поскольку $i$ там в квадрате, то минимум, если я ничего не путаю, должен быть достижим при его постоянстве, т.е. $i = i_\text{ср}.$

Теперь уже можно написать ответ. Однако он такой малосимпатичный, что вряд ли может быть верным.
Так что просто для оживления темы.

[Ignatovich]

chislo_avogadro, у меня тоже получилась формула не в пять символов, но в предельном случае $T\to\infty$ из нее следует правильный результат:

$A=W_1 -W_2>0$,

где

$W_1_,_2=\frac{\varepsilon^2 L_1_,_2}{2R^2}$

[chislo_avogadro]

Ignatovich в сообщении #1487749 писал(а):

в предельном случае $T\to\infty$ из нее следует правильный результат

Для этого предельного случая моё решение даёт тот же результат:

$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt} \to \Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}IiRdt} = \Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}I^2\displaystyle{(1-\frac{1}{n})\frac{L}{T}}dt} =\Delta W_\text{магн} - 2\Delta W_\text{магн} =-\Delta W_\text{магн} > 0$

Если устремление $T$ к бесконечности являлось частью решения, то не догадался.

[Ignatovich]

chislo_avogadro в сообщении #1487706 писал(а):

Перепишем уравнение (79.8) для баланса энергии у Тамма следующим образом (используется $\varepsilon= IR$)
$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt}$
Где $i -$ добавка тока контура при его деформации. Из физической ситуации ясно, что она в среднем положительна.
$-A \thickspace-\thickspace $ искомая работа.

-это мне понять не удалось, не понял как это следует из формулы Тамма. Не понял также и следующее ваше сообщение.

[AnatolyBa]

У меня получилось $\dfrac{\varepsilon^2}{2 R^2}(L_1-L_2)+\dfrac{\varepsilon^2}{R^3 T}(L_1-L_2)^2$
И трюк в том, что индуктивность в начале и в конце должна меняться скачком, чтобы с одной стороны удовлетворить условию $i(0)=i(T)=\varepsilon/R$ , а с другой $i=\operatorname{const}$ при $0 < t < T$.
Кажется, эти скачки не создают проблем

[chislo_avogadro]

Ignatovich
Извиняюсь за неясность изложения.

(79.8) у Тамма гласит

$-dW_\text{м} = A + (Q - P),$

где $Q$ - выделяемое тепло, $P$ - работа источников.

Я делал так.
В задаче $Q = (I + i)^2R,$ $P = \varepsilon(I+ i),$
где $I = \varepsilon/R,$
$i$ - добавка тока на участке $0 < t < T,$
и тогда $Q - P = (I+i)iR.$

Далее уравнение интегрировал и решал относительно $-A$. Смысл минуса в том, чтобы получить работу, поскольку она совершается над контуром, положительной.

В итоге

chislo_avogadro в сообщении #1487706 писал(а):

$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt}$

После постановки в него $i = i_\text{ср}=\displaystyle{I(1-\frac{1}{n})\frac{L}{RT}}$ получается, как я вижу после сообщения AnatolyBa, то же самое выражение, что и у него.

(Оффтоп)

Замечу, что $\Delta W_\text{магн} = W_2 - W_1 < 0$ - изменение магнитной энергии контура, как и положено, здесь отрицательно.

На (требуемый формально) скачок тока я тоже обратил внимание. Т.е. при деформации должно выполняться условие вроде $L\Delta\Phi + \Phi \Delta L = 0$. Нахождение траектории деформации могло бы быть, наверное, тоже неплохой задачей.

[Ignatovich]

AnatolyBa в сообщении #1487846 писал(а):

У меня получилось $\dfrac{\varepsilon^2}{2 R^2}(L_1-L_2)+\dfrac{\varepsilon^2}{R^3 T}(L_1-L_2)^2$
И трюк в том, что индуктивность в начале и в конце должна меняться скачком, чтобы с одной стороны удовлетворить условию $i(0)=i(T)=\varepsilon/R$ , а с другой $i=\operatorname{const}$ при $0 < t < T$.
Кажется, эти скачки не создают проблем

Формула для минимальной работы у меня такая же. Чтобы минимизировать работу, деформировать контур нужно так, чтобы магнитный поток изменялся линейно от начального значения до конечного. Скачком в начале и в конце процесса изменяется не индуктивность, а ее производная и, следовательно, ток.

-- 19.10.2020, 17:52 --

chislo_avogadro в сообщении #1487880 писал(а):

Нахождение траектории деформации могло бы быть, наверное, тоже неплохой задачей.

Мы, кажется ее решили: деформировать контур нужно так, чтобы магнитный поток изменялся линейно. Поскольку ток при этом остается постоянным, то следует обеспечить равномерное во времени изменение индуктивности контура.

[AnatolyBa]

Ignatovich в сообщении #1487945 писал(а):

Скачком в начале и в конце процесса изменяется не индуктивность, а ее производная и, следовательно, ток.

Вы согласны с формулой $\varepsilon=R i + \dfrac{d(Li)}{dt}$ ?
Если согласны, то видно, что скачка не должно быть у величины $L i$

[Ignatovich]

AnatolyBa в сообщении #1487972 писал(а):

Если согласны, то видно, что скачка не должно быть у величины $L i$

AnatolyBa, согласен с Вами. Действительно, на старте и на финише, когда производная магнитного потока терпит разрыв, должны быть скачкообразные изменения индуктивности.