2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение05.10.2020, 14:36 


21/07/20
157
Источник постоянной ЭДС $\varepsilon$ включен в проводящий контур, общее сопротивление которого R , а индуктивность L. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы, деформируя контур, за время T уменьшить его индуктивность в n раз? Сопротивление контура при его деформации остается постоянным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение05.10.2020, 18:42 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Все ли оговорено? Например, начальные условия?
Если с начальными условиями можно играть, то мой ответ 0. Наверное, это не то, что вы имели в виду.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение05.10.2020, 19:22 


21/07/20
157
Ток через катушку $I=\varepsilon/R$ при $t<0$ и при $t>T$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение06.10.2020, 08:09 
Аватара пользователя


11/12/16
9860
уездный город Н
Получилось компактное выражение для мощности внешних сил:

$P_{BH} = \frac{ I^2 \dot{L}}{2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение06.10.2020, 15:43 


27/08/16
8581
Подключим непосредственно к источнику ЭДС электромотор, который будет быстро изменять геометрию контура. Никакой внешней работы не совершается, а индуктивность контура изменяется произвольно быстро. Бинго! ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение08.10.2020, 09:52 


21/07/20
157
realeugene в сообщении #1485924 писал(а):
Подключим непосредственно к источнику ЭДС электромотор, который будет быстро изменять геометрию контура. Никакой внешней работы не совершается, а индуктивность контура изменяется произвольно быстро. Бинго! ;)

Конечно, коммутировать схему нельзя. Иначе и мотор не нужен: отключил источник, деформировал контур и работа нулевая. ЭДС источника в контуре остается неизменной, а мы можем деформировать контур, например, растягивая витки проволочной катушки, подключенной к источнику.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение18.10.2020, 16:44 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.

(К вопросу о нахождении минимальной работы деформации контура с целью уменьшения его индуктивности в $n$ раз при заданном времени деформации)

Перепишем уравнение (79.8) для баланса энергии у Тамма следующим образом (используется $\varepsilon= IR$)
$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt}$
Где $i -$ добавка тока контура при его деформации. Из физической ситуации ясно, что она в среднем положительна.
$-A \thickspace-\thickspace $ искомая работа.

Среднее добавки тока можно найти из $\displaystyle{\frac{d\Phi}{dt}=-iR},$ получается $i_\text{ср}=\displaystyle{I(1-\frac{1}{n})\frac{L}{RT}}.$

То есть, средний ток не зависит от способа деформации.

Теперь задача сводится к нахождению минимума от выписанного интеграла при заданном среднем токе.
Поскольку $i$ там в квадрате, то минимум, если я ничего не путаю, должен быть достижим при его постоянстве, т.е. $i = i_\text{ср}.$

Теперь уже можно написать ответ. Однако он такой малосимпатичный, что вряд ли может быть верным.
Так что просто для оживления темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение18.10.2020, 20:54 


21/07/20
157
chislo_avogadro, у меня тоже получилась формула не в пять символов, но в предельном случае $T\to\infty$ из нее следует правильный результат:
$A=W_1 -W_2>0$,

где
$W_1_,_2=\frac{\varepsilon^2 L_1_,_2}{2R^2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение18.10.2020, 22:00 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.
Ignatovich в сообщении #1487749 писал(а):
в предельном случае $T\to\infty$ из нее следует правильный результат

Для этого предельного случая моё решение даёт тот же результат:

$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt} \to \Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}IiRdt} = 
\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}I^2\displaystyle{(1-\frac{1}{n})\frac{L}{T}}dt} =\Delta W_\text{магн} - 2\Delta W_\text{магн} =-\Delta W_\text{магн} > 0$

Если устремление $T$ к бесконечности являлось частью решения, то не догадался.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение19.10.2020, 00:01 


21/07/20
157
chislo_avogadro в сообщении #1487706 писал(а):
Перепишем уравнение (79.8) для баланса энергии у Тамма следующим образом (используется $\varepsilon= IR$)
$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt}$
Где $i -$ добавка тока контура при его деформации. Из физической ситуации ясно, что она в среднем положительна.
$-A \thickspace-\thickspace $ искомая работа.

-это мне понять не удалось, не понял как это следует из формулы Тамма. Не понял также и следующее ваше сообщение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение19.10.2020, 08:41 
Заслуженный участник


21/09/15
998
У меня получилось $\dfrac{\varepsilon^2}{2 R^2}(L_1-L_2)+\dfrac{\varepsilon^2}{R^3 T}(L_1-L_2)^2$
И трюк в том, что индуктивность в начале и в конце должна меняться скачком, чтобы с одной стороны удовлетворить условию $i(0)=i(T)=\varepsilon/R$ , а с другой $i=\operatorname{const}$ при $0 < t < T$.
Кажется, эти скачки не создают проблем

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение19.10.2020, 12:52 


31/07/14
635
Я понял, но не врубился.
Ignatovich
Извиняюсь за неясность изложения.

(79.8) у Тамма гласит

$-dW_\text{м} = A + (Q - P),$

где $Q$ - выделяемое тепло, $P$ - работа источников.

Я делал так.
В задаче $Q = (I + i)^2R,$ $P = \varepsilon(I+ i),$
где $I = \varepsilon/R,$
$i$ - добавка тока на участке $0 < t < T,$
и тогда $Q - P = (I+i)iR.$

Далее уравнение интегрировал и решал относительно $-A$. Смысл минуса в том, чтобы получить работу, поскольку она совершается над контуром, положительной.

В итоге
chislo_avogadro в сообщении #1487706 писал(а):
$-A=\Delta W_\text{магн} + \displaystyle{\int\limits_{0}^{T}(I + i)iRdt}$

После постановки в него $i = i_\text{ср}=\displaystyle{I(1-\frac{1}{n})\frac{L}{RT}}$ получается, как я вижу после сообщения AnatolyBa, то же самое выражение, что и у него.

(Оффтоп)

Замечу, что $\Delta W_\text{магн} = W_2 - W_1 < 0$ - изменение магнитной энергии контура, как и положено, здесь отрицательно.

На (требуемый формально) скачок тока я тоже обратил внимание. Т.е. при деформации должно выполняться условие вроде $L\Delta\Phi + \Phi \Delta L = 0$. Нахождение траектории деформации могло бы быть, наверное, тоже неплохой задачей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение19.10.2020, 17:48 


21/07/20
157
AnatolyBa в сообщении #1487846 писал(а):
У меня получилось $\dfrac{\varepsilon^2}{2 R^2}(L_1-L_2)+\dfrac{\varepsilon^2}{R^3 T}(L_1-L_2)^2$
И трюк в том, что индуктивность в начале и в конце должна меняться скачком, чтобы с одной стороны удовлетворить условию $i(0)=i(T)=\varepsilon/R$ , а с другой $i=\operatorname{const}$ при $0 < t < T$.
Кажется, эти скачки не создают проблем

Формула для минимальной работы у меня такая же. Чтобы минимизировать работу, деформировать контур нужно так, чтобы магнитный поток изменялся линейно от начального значения до конечного. Скачком в начале и в конце процесса изменяется не индуктивность, а ее производная и, следовательно, ток.

-- 19.10.2020, 17:52 --

chislo_avogadro в сообщении #1487880 писал(а):
Нахождение траектории деформации могло бы быть, наверное, тоже неплохой задачей.

Мы, кажется ее решили: деформировать контур нужно так, чтобы магнитный поток изменялся линейно. Поскольку ток при этом остается постоянным, то следует обеспечить равномерное во времени изменение индуктивности контура.

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение19.10.2020, 21:03 
Заслуженный участник


21/09/15
998
Ignatovich в сообщении #1487945 писал(а):
Скачком в начале и в конце процесса изменяется не индуктивность, а ее производная и, следовательно, ток.

Вы согласны с формулой $\varepsilon=R i + \dfrac{d(Li)}{dt}$ ?
Если согласны, то видно, что скачка не должно быть у величины $L i$

 Профиль  
                  
 
 Re: Деформируем контур, совершаем работу.
Сообщение19.10.2020, 21:40 


21/07/20
157
AnatolyBa в сообщении #1487972 писал(а):
Если согласны, то видно, что скачка не должно быть у величины $L i$

AnatolyBa, согласен с Вами. Действительно, на старте и на финише, когда производная магнитного потока терпит разрыв, должны быть скачкообразные изменения индуктивности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group