Найти общий член последовательности.

[Slava]

Найти общий член последовательности: $c_3, c_5, ..., c_{2n+1}$, заданную рекуррентным соотношением $c_{2n+3}=(2n+1)^2c_{2n+1}+((2n-1)!!)^2, c_3=1, n\in\mathbb{N}$?
Решение. Имеем линейное неоднородное рекуррентное уравнение первого порядка с переменным коэффициентом $(2n+1)^2$ (Большое спасибо Lia за подсказку). Как я понял, чтобы его решить, нужно сначала решить соответствующее ему однородное уравнение (т. е. отбросив неоднородность $((2n-1)!!)^2$):
$c_{2n+3}=(2n+1)^2c_{2n+1}, c_3=1,
$c_{2n+3}=(2n+1)^2(2n-1)^2(2n-3)^2...5^23^21^2=((2n+1)!!)^2$.
По этой формуле при $n=0$ получаем $c_3=1$. Т. е.
$c_{2n+1}=((2n-1)!!)^2=\frac{((2n)!)^2}{4^n(n!)^2}, n\in\mathbb{N}$.
Теперь надо получить частное решение. А как его получить? В каком виде?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи;
- заголовок стоит сменить на более осмысленный (что такое "решить последовательность"?).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Slava в сообщении #1485863 писал(а):

Я не просил за меня решать.

В таких случаях просят порекомендовать литературу, например. Можете поискать (яндексом, например) решение неоднородных рекуррентных соотношений с переменными коэффициентами. Должно хватить хотя бы для начала.
Излагать всю теорию с нуля тут невозможно.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Padawan]

Тут аналогия с дифф.уравнениями. Надо сначала найти общее решение однородного, с произвольной постоянной ($c_3=C$), а потом метод вариации произвольной постоянной $C\mapsto C(n)$

[Slava]

Всё получилось. Спасибо Padawan за подсказку. Моя ошибка была в том, что я подставил $c_3=1$ в решении однородного уравнения, хотя не должен был делать это. Поэтому и не сразу увидел путь решения. Действительно общее решение однородного уравнения:
$C((2n-1)!!)^2$.
Далее частное решение ищем в виде $C(n)((2n-1)!!)^2$. Подставляем в заданное рекуррентное уравнение:
$C(n)((2n-1)!!)^2=((2n-1))^2C(n-1)((2n-3)!!)^2+((2n-1)!!)^2$,
$C(n)=C(n-1)+1$,
$C(n)=n$.
Частное решение:
$n((2n-1)!!)^2$.
Полное решение:
$c_{2n+1}=C((2n-1)!!)^2+n((2n-1)!!)^2=(C+n)((2n-1)!!)^2$.
И только теперь можно подставлять в полученное решение $n=1$:
$c_3=C+1=1$, т. е. $C=0$.
Окончательный ответ:
$c_{2n+1}=n((2n-1)!!)^2$.
Ещё один момент. Если действовать по теории, т. е. написать характеристическое уравнение:
$\lambda^{2n+3}=(2n+1)^2\lambda^{2n+1}$,
$\lambda^2=(2n+1)^2$,
$\lambda=2n+1$,
то выходить, что для каждого $n$ уравнение имеет свой характеристический корень. Поэтому результат будет не в виде степени, а в виде факториала. Даже частное решение в таком же виде. Т. е. я хочу сказать, что между уравнениями с постоянными и уравнениями с переменными коэффициентами существует полная аналогия (это я сделал для себя такое маленькое открытие, поскольку в интернете так и не нашёл информации об уравнениях с переменными коэффициентами).
Большое спасибо всем за помощь.

[Slava]

Там не так аккуратно получится (я немного напутал с индексами). Тот ответ для уравнения: $c_{2n+3}=(2n+1)^2c_{2n+1}+((2n+1)!!)^2$. А для заданного уравнения ответ:
$c_{2n+1}=((2n-1)!!)^2\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{((2i-1))^2}$.

[Lia]

Slava
Посмотрите вот здесь еще. Не так, чтобы это много добавило к уже сделанным выводам, просто дополнительно, там очень краткий обзор.

Рекуррентные соотношения действительно своего рода дискретный аналог дифференциальных уравнений, только

Slava в сообщении #1485982 писал(а):

$\lambda^2=(2n+1)^2$,
$\lambda=2n+1$,

вот так характ. уравнение писать не стоит - это все равно, что написать для уравнения $y'=xy$ хар. ур. $\lambda=x$: написать-то можно, но ничего хорошего из этого не получится. Характеристические уравнения следует оставить на случай постоянных коэффициентов.

Тут хорошо решается и без всякой особой теории все, нужно только общее понимание, что с этим делать, а в принципе, в случае рекурсии часто хорошо задействовать аппарат производящих функций. Об этом есть у Ландо в его "Лекциях о производящих функциях" и у Кнута в "Конкретной математике".

Наверное, можно еще много чего порекомендовать, но у меня пока фантазия кончилась )