Движение псевдоевклидовых пространств

[Paul Ivanov]

Добрый день.
Вопрос довольно общий: Почему движение псевдоевклидова пространства обязано быть аффинным?
Подобную задачу для евклидовых движений решить оказывается не сложно, основываясь хотя бы на неравенстве треугольника для таких пространств.
Для псевдоевклидовых движений двумерной плоскости, непосредственно из системы уравнений, получается вывести данное свойство, но это, безусловно, очень грубая работа и обобщать её на большие размерности как-то не хочется.
Для псевдоевклидовых движений не получается даже доказать, что прямая переходит в прямую, так как не работает неравенство треугольника, существуют изотропные вектора и в частности верность равенства $\left\lVert v \right\rVert^2 \left\lVert u\right\rVert^2=(v|u)^2 $ вовсе не обозначает коллинеарность векторов. В общем полный затык.
То, что всё можно свести к случаю движения с неподвижной точкой $g(o+v)=o+Gv$ где оператор G сохраняет скалярное произведение, я уже показал.
Как быть дальше?

[svv]

Paul Ivanov в сообщении #1485315 писал(а):

То, что всё можно свести к случаю движения с неподвижной точкой $g(o+v)=o+Gv$ где оператор G сохраняет скалярное произведение, я уже показал.

Прекрасно.
Выберем базис $(\mathbf e_0,\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ с матрицей Грама $\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$.
Возьмём произвольный вектор $\mathbf a$ и разложим его по базису:
$\mathbf a=a^0\mathbf e_0+a^1\mathbf e_1+a^2\mathbf e_2+a^3\mathbf e_3$
Тогда $a^0=+\mathbf a\cdot \mathbf e_0,\; a^1=-\mathbf a\cdot \mathbf e_1,\;a^2=-\mathbf a\cdot \mathbf e_2,\;a^3=-\mathbf a\cdot \mathbf e_3.$

Пусть $\tilde{\mathbf e}_i=G\mathbf e_i, \;i=0,1,2,3,\; \tilde{\mathbf a}=G\mathbf a$.
Что можно сказать о наборе векторов $(\tilde{\mathbf e}_i)$, о его матрице Грама?
Что можно сказать о коэффициентах разложения $\tilde{\mathbf a}$ по $(\tilde{\mathbf e}_i)$ ?
Что можно сказать об операторе $G$ ?

[Paul Ivanov]

Да, всё получается. Оператор G действительно тогда линеен и к тому же в виду сохранения матрицы Грама переводит ортонормированный базис в ортонормированный.
Как я сам не додумался...
Спасибо !