Проверьте вычисление предела (используя второй замечательный

[rar]

Вычислить предел, используя второй замечательный предел: $\lim\limits_{x\to 0}\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}$

Решение:
$\lim\limits_{x\to 0}\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\left[(1+3\sin x)^{\frac{1}{3\sin x}}\right]^{6\sin x\ctg 3x}$ = $\left\{\lim\limits_{t=3\sin x\to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e\right\}$ = $e^{6\lim\limits_{x\to 0}(\sin x\ctg 3x)}$ = $e^{6\lim\limits_{x\to 0}\left(\sin x\frac{\cos 3x}{\sin 3x}\right)}$ = $e^{6\lim\limits_{x\to 0}\left(\frac{1}{3}\frac{\sin x}{x}\cos 3x\frac{3x}{\sin 3x}}\right)}$ = $e^{6*\frac{1}{3}*1*1*1}$ = $e^2$

Ответ: $e^2.$

Правильно?

[Trotil]

Не совсем понятно, почему в произведении $6 \cdot 0 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 0 $ последний множитель 0

[rar]

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{3x}=0$ разьве не так?

[Trotil]

Нет, не так

[rar]

а ну да... чего я туплю.

[Trotil]

rar писал(а):

а ну да... чего я туплю.

В полтретьего ночи в этом нет ничего удивительного

[rar]

Я исправил, проверьте...

[Trotil]

Первую троечку на место нужное... И будет правильно.

[rar]

Понял...

Добавлено спустя 5 минут 30 секунд:

Если теперь здесь поможете http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=14283 то цены вам не будет.

[ewert]

rar писал(а):

Вычислить предел, используя второй замечательный предел: $\lim\limits_{x\to 0}\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}$

Вообще-то прежде чем предел доказывать, полезно его сначала найти, так надёжнее:

$$\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}\sim(1+3x)^{2/3x}\sim(1+t)^{2/t}=e^2$$

[rar]

ewert писал(а):

rar писал(а):

Вычислить предел, используя второй замечательный предел: $\lim\limits_{x\to 0}\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}$

Вообще-то прежде чем предел доказывать, полезно его сначала найти, так надёжнее:

$$\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}\sim(1+3x)^{2/3x}\sim(1+t)^{2/t}=e^2$$

Не понял. Я не правильно решил что ли?

[ИвановЭГ]

rar писал(а):

ewert писал(а):

rar писал(а):

Вычислить предел, используя второй замечательный предел: $\lim\limits_{x\to 0}\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}$

Вообще-то прежде чем предел доказывать, полезно его сначала найти, так надёжнее:

$$\left(1+3\sin x\right)^{2\ctg 3x}\sim(1+3x)^{2/3x}\sim(1+t)^{2/t}=e^2$$

Не понял. Я не правильно решил что ли?

а у тебя что он другим получился??!!!

[rar]

НЕ ПОНЯЛ НИЧЕГО!
Да, у меня он получился другим!!! У меня ответ $e^{18}$, а у него $e^2$.

[ИвановЭГ]

rar писал(а):

НЕ ПОНЯЛ НИЧЕГО!
Да, у меня он получился другим!!! У меня ответ $e^{18}$, а у него $e^2$

а вы найдите у себя ошибку!!там не умножить, а разделить на три!!!

[rar]

Исправил, вроде. Посмотрите ещё раз.