Наибольшая длина на конечной площади

[Fenribel]

Здравствуйте!

Решаю экспериментальную задачу про топологические изоляторы -- материалы, в которых существует фаза, при которой ток через образец идёт только через край двумерного образца. Буду делать дырки размера порядка 10 нм и заставлять идти ток сковзь цепочку таких дырок. Теоретики предсказывают, что ширина волновой функции такого краевого состояния составляет как раз порядок этих 10 нм, так что какой-то эффект должен наблюдаться. Однако у образца есть, помимо индуцированных моими действиями (стреляние электронным пучком) краёв (этих самых отверстий), имеются естественные края -- обыкновенная граница моего образца, которая будет шунтировать проводимость через отверстия -- так что я хочу сделать эту естественную границу максимально длинной, чтобы было у неё большое сопротивление. Саму структуру я изготавливаю при помощи литографии с максимальным разрешением порядка 5 мкм (то есть, я не могу нарисовать ничего более детализированного, чем квадратик с длиной стороны 5 мкм -- могу, например, нарисовать длинную змейку шириной эти самые 5 мкм, но у'же сделать очень трудно). Поэтому вопрос:

Каким образом я могу максимизировать периметр фигуры, если у меня фиксирована площадь и фиксировано минимальный размер части этой фигуры? У меня есть соображения сделать эту структуру змейкой или неким фракталом. Был бы рад, если бы вы подсказали литературу на данную тему, наверняка это известная проблема.

[svv]

Тут не стоит особенно изощряться. Взгляните на картинку.
Размер клеточки 5 мкм. В каждом варианте «щупальца» занимают одну и ту же площадь (половина площади прямоугольника, в котором они размещены). И периметр в каждом случае тоже одинаков — 132 единицы. Так что выбирайте самый простой вариант, сложные не дают никакого выигрыша.

[Fenribel]

svv в сообщении #1484394 писал(а):

Тут не стоит особенно изощряться. Взгляните на картинку.
Размер клеточки 5 мкм. В каждом варианте «щупальца» занимают одну и ту же площадь (половина площади прямоугольника, в котором они размещены). И периметр в каждом случае тоже одинаков — 132 единицы. Так что выбирайте самый простой вариант, сложные не дают никакого выигрыша.

Спасибо за наглядную наводку! Что-то я не додумался порисовать на клетчатой бумаге... Наверное, потому что уже давно пишу на пустых листах А4, ыл бы в школе -- сразу бы нарисовал такую картинку)

С тем, что мне делать в эксперименте, теперь понятно -- буду делать "столбики" -- на них, в силу особенностей процесса литографии, будет получаться наибольшая длина (чем больше углов -- тем больше картинка будет "сглаживаться"). Ещё эта схема позволяет, при наличии на поверхности образца дефектов, дающих прерывание структуры, не сильно потерять на периметре -- потеряется только один столбик.
Но ещё остался "духовный" вопрос -- какие существуют математические решения данной задачи -- интересно ведь!

[svv]

Fenribel в сообщении #1484457 писал(а):

Но ещё остался "духовный" вопрос -- какие существуют математические решения данной задачи -- интересно ведь!

Такой, вроде, простой вопрос, но я его не понял. Либо Вы спрашиваете, как математически показать, что при данных ограничениях ничего лучшего не получится. Либо — что лучшего можно найти, если ослабить ограничения.

[Fenribel]

svv в сообщении #1484470 писал(а):

Вы спрашиваете, как математически показать, что при данных ограничениях ничего лучшего не получится

Да, я именно про это и спрашиваю)
Самое банальное решение -- это для данных параметров перебрать все варианты на компьютере. Но это неинтересно)

У меня есть идея по второму пути решения, который, однако, меня ни к чему не приводит...:

Пусть у нас имеется поле n x n клеток. Нижняя сторона поля -- это край образца. Необходимо так деформировать самую нижнюю линию этого клетчатого поля так, чтобы иметь максимальный периметр.
Можно попробовать оценить максимальный периметр в зависимости от количества "закрашенных" клеток -- функцию f(k).
Если ничего не закрашено, то f(0) = n.
Если закрашена одна клетка, она неизбежно должна контактировать с нижней стороной клетчатого поля. Поэтому f(1) = 2 + n.
Если закрашены две клетки, то тут уже начинается быть несколько вариантов: либо вторая касается первой клетки, либо нет. Лучшие варианты -- когда они 1) не касаются или 2) одна стоит на другой. Так что f(2) = 4 + n, но тут дерево возможных построений ветвится впервые.
Далее возможных вариантов становится весьма много... Думаю, такое решение не приведёт к простому результату.

Те рисунки, что вы нарисовали наталкивают на мысль о симметрийных соображениях: количество закрашенных и незакрашенных клеток должно быть одинаковым. Но как это оформить в какое-либо доказательство я ещё не придумал...

[Sender]

Если говорить о связных клетчатых фигурах на сетке, то добавление к уже существующей фигуре ещё одной клетки увеличит её площадь на 1, а периметр - не более, чем на 2. Если сопоставить каждой клетке вершину графа, а каждой паре смежных клеток ребро графа, то легко заметить, что для достижения максимального периметра фигуры соответствующий граф должен быть деревом, а известно, что у каждого дерева вершин всегда на одну больше, чем рёбер.