Частица движется по прямой

[pogulyat_vyshel]

Маленькое колечко массы $m$ надето на длинный прямой стержень. Между стержнем и колечком действует кубически вязкое трение $F=-kv^3$. Кроме того, на колечко действует сила

$$G=\frac{A}{1+at^3},$$

которая может быть реализована путем изменения угла наклона стержня. Постоянные $k,A,a$ положительны.

Другими словами, если $x$ -- декартова координата, направленная вдоль стержня, то уравнение движения колечка следующее

$$m\ddot x=-k\dot x^3+\frac{A}{1+at^3},$$

Вопрос: будет ли колечко оставаться на ограниченном отрезке стержня все время $t\ge 0$, или оно будет уходить вдоль стержня до бесконечности? А может оно будет уходить все дальше и дальше, но каждый раз возвращаться?

[mihiv]

pogulyat_vyshel в сообщении #1484013 писал(а):

Вопрос: будет ли колечко оставаться на ограниченном отрезке стержня все время $t\ge 0$, или оно будет уходить вдоль стержня до бесконечности?

Введем переменную $\tau =a^{\frac 13}t$, тогда уравнение примет вид:

$$m\ddot x=-k_1\dot x^3+\frac{A_1}{1+\tau ^3} \eqno(1), \dot x=\frac {dx}{d\tau }$$

Из уравнения (1):

$$\dot x(\tau )<\int \limits _0^{\tau }\dfrac {A_1du }{1+u^3}<\int \limits _0^1A_1du +\int \limits _1^{\tau }\dfrac {A_1du }{1+u ^2}=A_1+A_1(arctg \tau -\frac {\pi}4)<2A_1,(\tau >1,x(0)=\dot x(0)=0)\eqno (2)$$

Из (1),(2) получим неравенство:

$$\dot x(\tau )>-k_1(2A_1)^3+\int \limits _0^{\tau }\dfrac {A_1du }{(1+u )^3}>-8k_1A_1^3+\frac 38A_1\eqno (3)$$

Если потребовать, чтобы правая часть неравенства (3) была $>0$, то из(3) получим:

$$k_1A_1^2<\frac {3}{64}\text {или}\dfrac {kA^2}{m^3a}<\frac 3{64}\eqno (4)$$

Таким образом при выполнении неравенства (4) и $\tau >1$, скорость остается больше некоторой положительной постоянной, следовательно, колечко уйдет на бесконечность.

[AnatolyBa]

В (3) в первом неравенстве разве $-k_1(2A_1)^3$ ? Не забыт ли интеграл?

[mihiv]

AnatolyBa
Вы правы, тут ошибка, и так просто не получится. Спасибо.

[AnatolyBa]

А по-моему так. Если в какой-то момент сила $\frac{A}{1+at^3}$ исчезнет то далее будет $v\sim\frac{1}{\sqrt t}$ и колечко улетит на бесконечность.
А если не исчезнет то и подавно улетит