Вопрос по теории групп

[a1981]

Помогите, пожалуйста, с вопросом.

Пусть в группе $G$ имеется подгруппа конечного индекса $H$, изоморфная $\mathbb{Z}^d$ с некоторым $d>0$. Верно ли, что в
$G$ имеется нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная $\mathbb{Z}^d$?

В частности, пусть $H'$ - максимальная содержащая $H$ и изоморфная $\mathbb{Z}^d$ подгруппа $G$. Верно ли, что $H'$ - нормальная подгруппа $G$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

Возвращено.

[vpb]

a1981 в сообщении #1483933 писал(а):

Верно ли, что в
$G$ имеется нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная $\mathbb{Z}^d$?

Несомненно. Это следует из двух утверждений: 1) Любая подгруппа конечного индекса, в любой группе, содержит в себе подгруппу конечного индекса, нормальную во всей группе; 2) Подгруппа конечного индекса в ${\mathbb Z}^d$ сама изоморфна ${\mathbb Z}^d$.
Оба утверждения могут быть найдены в книжке Каргаполова-Мерзлякова (в 3-м издании теоремы 12.2.2 и 8.1.1).

[a1981]

Большое спасибо. Второе я знал, а вот первый факт для меня новый.