Об одном среднем значении

[vicvolf]

Известна формула:

$$\sum_{p \leq n} {\ln(p)}=n+O(n/\ln(n)).$$

Из этой формулы вытекает, что среднее значение функции $f(p)=\ln(p)$ равно:

$$E[f,n]=1+O(1/\ln(n)),$$

поэтому

$$\lim_{n \to \infty} E[f,n]=1,$$

т.е среднее значение $\ln(p)$ на интервале $[2,\infty)$ равно 1.

При этом, только при одном значении $\ln2<1$. При всех остальных значениях: $\ln3>1,\ln5 >1,...$ и принимает сколь угодно большие значения. Где ошибка?

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1483448 писал(а):

Где ошибка?

Эх, боже мой ... Вы уверены, что вычислили среднее?

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1483448 писал(а):

среднее значение функции $f(p)=\ln(p)$

Для начала - какая у этой функции область определения?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1483450 писал(а):

vicvolf в сообщении #1483448 писал(а):

Где ошибка?

Эх, боже мой ... Вы уверены, что вычислили среднее?

Верно . Количество простых другое.

[nnosipov]

Именно. Получается $\ln{n}+O(1)$.

[vicvolf]

nnosipov mihaild Спасибо!