Максимальная скорость. Механический ускоритель

[fred1996]

Шарик с массой $M$ движется со коростелю $V_0$ и сталкивается в лоб с покоящимся шариком массы $m$. Теперь поместим между ними $n$ покоящихся шариков, которые последовательно сталкиваются по разу. Какие следует выбрать массы шаров, чтобы получить максимальную скорость шара с массой $m$? Все столкновения абсолютно упругие, трение отсутствует.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

Обозначим $k = \frac{m}{M}$
Шар с массой $M$ имеет номер ноль.
Тогда масса i-го шара $m_i = M (\sqrt[n+1]{k})^i$

Максимальная скорость последнего шарика будет равна:
$v_{max} = М (\frac{2}{\sqrt[n+1]{k}+1})^{n+1}$

[dovlato]

Получается, что все отношения любых двух соседних масс одинаковы. Ну и so on.

[EUgeneUS]

dovlato в сообщении #1483400 писал(а):

Получается, что все отношения любых двух соседних масс одинаковы.

FGJ, не уверен, что у меня это доказано строго.

[dovlato]

А я тупо решал задачу с множителем Лагранжа. Почти уверен, что тут есть и хороший, то есть осмысленный ход решения.

-- Ср сен 16, 2020 18:25:21 --

[fred1996]

dovlato
Стандартное решение тут обычно такое.
Сначала решаем для одного промежуточного шарика. Получаем геометрическую прогрессию из трёх шаров. Затем экстраполируем прогрессию на $n$ шаров. То есть угадываем результат. И методом от противного доказываем что он верный. То есть пусть у нас есть последовательность из трёх шаров не прогрессия. Тогда меняем средний шарик на "прогрессивный". Скорость третьего увеличится. Значит и скорость всех остальных тоже.
Собственно этой задачкой хотелось бы наверное открыть ветку с такого сорта задачами, когда ответ угадывается, а потом доказывается от противного.

[Ignatovich]

fred1996 в сообщении #1483366 писал(а):

Шарик с массой $M$ движется со коростелю $V_0$ и сталкивается в лоб с покоящимся шариком массы $m$. Теперь поместим между ними $n$ покоящихся шариков, которые последовательно сталкиваются по разу. Какие следует выбрать массы шаров, чтобы получить максимальную скорость шара с массой $m$? Все столкновения абсолютно упругие, трение отсутствует.

Если в условии задачи не фиксировать число промежуточных шаров $n$ и снять ограничение одного удара, то задача тоже остается интересной. Максимальную скорость шарика-мишени в этом случае можно найти, мне кажется, менее громоздким способом, вводя в рассмотрение скорость центра масс всех шаров, налетающих на мишень. Максимальная скорость мишени достигается в том случае, когда после отскоков все шары, кроме мишени, движутся с одинаковой скоростью и кинетическая энергия в системе их центра масс равна нулю. Я получил
$\upsilon_{max}}=\upsilon_0\sqrt{M/m}$
Этот результат вытекает и из формул, полученных при решении вашей исходной задачи в предельном случае бесконечного числа шаров.

[fred1996]

Ну собственно в пределе, если устремить разницу соседних масс к нулю, кинетическая энергия каждого шара кроме последнего стремится к нулю квадратично относительно этой разницы масс. Следовательно общая энергия всех кроме последнего стремится линейно к нулю. Так что в пределе вся энергия передаётся последнему шару и задачка становится малосодержательной.