Порождающие циклических многочленов 3-ех переменных.

[Null]

Как известно любой циклический многочлен 3ех переменных($P(x,y,z)=P(y,z,x)$) является многочленом от $S=x+y+z, S_2=xy+yz+zx, P=xyz, D=(x-y)(y-z)(z-x)$, но они алгебраически зависимы $S^2S_2^2-S_2^3-4S^3P+27P^2+18SS_2P=D^2$, так же понятно что нельзя выразить 1 из них как многочлен от 3ех других(можно подобрать комплексные $x,y,z$ так чтобы 3 из них были равны и 4тое отличалось). Вопрос можно ли выбрать 3 циклических многочлена, так чтобы любой другой циклический многочлен был многочленом от них?
$x+y+z, x^2y+y^2z+z^2x, xy^2+yz^2+zx^2$ не прокатывают, $S_2$ через них не выразить.

[FEBUS]

Используйте

Т е о р е м а. Любой симметрический многочлен от $\; x, y, z\;$ можно представить в виде многочлена от $\;s_1 = x + y + z,\; s_2 = xy + xz + yz, \;s_3 = xyz.$

[Slav-27]

Пусть алгебра $A=\mathbb C[x_1,...,x_n]/I$ (где $I$ -- идеал), $m$ -- максимальный идеал в $A$. Тогда $\dim_{\mathbb C}\frac m{m^2}\leqslant n$. (Геометрически это означает, что если многообразие можно вложить в $\mathbb C^n$, то в любой его точке размерность касательного пространства не больше $n$.)

Посчитайте эту размерность для вашего случая $A=\mathbb C[x,y,z]^{\mathbb Z_3}$ (алгебра многочленов, инвариантных относительно действия группы $\mathbb Z_3$, которая циклически переставляет координаты), $m=$ идеал многочленов, равных нулю в начале координат. (Для этого удобно линейной заменой координат диагонализировать действие $\mathbb Z_3$ на $\mathbb C^3$.)

[Null]

Получается что $\frac{m}{m^2}=\{c_1S+c_2S_2+c_3P+c_4D+m^2\}$ и размерность равна 4.(предполагаем противное и сравниваем слагаемые равной степени)
А если бы были 3 порождающих многочлена то размерность была бы не выше 3.(Это не сложно.)

[Someone]

FEBUS в сообщении #1481677 писал(а):

Любой симметрический многочлен от $\; x, y, z\;$

А в условии не симметрический.

Null в сообщении #1481643 писал(а):

они алгебраически зависимы $S^2S_2^2-S_2^3-4S^3P+27p^2+18SS_2P=D^2$

Но $D$ не выражается через три других.

[Null]

Someone в сообщении #1481771 писал(а):

Но $D$ не выражается через три других.

То что этого достаточно надо доказывать.

[Someone]

Null в сообщении #1481775 писал(а):

Someone в сообщении #1481771 писал(а):

Но $D$ не выражается через три других.

То что этого достаточно надо доказывать.

Достаточно для чего? Доказывать что?

Я имел в виду всего лишь тот факт, что, хотя $N^2$ выражается через $S,S_2,P$ (которые обычно обозначаются $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ или $S_1,S_2,S_3$), но $N$ через них не выражается. Возможно, мне не следовало об этом писать, поскольку Вы об этом знаете.

Все (однородные) циклические многочлены первой степени имеют вид $A(x+y+z)=AS_1$, второй — $A(x^2+y^2+z^2)+B(xy+yz+zx)=A(S_1^2-2S_2)+BS_2=AS_1^2+(B-2A)S_2$, то есть, являются симметрическими.
Однородный циклический многочлен третьей степени имеет вид
$A(x^3+y^3+z^3)+B(x^2y+y^2z+z^2x)+C(xy^2+yz^2+zx^2)+Dxyz=$
$=A(x^3+y^3+z^3)+\frac 12(B+C)((x^2y+y^2z+z^2x)+(xy^2+yz^2+zx^2))+$
$+\frac 12(C-B)((xy^2+yz^2+zx^2)-(x^2y+y^2z+z^2x))+Dxyz=$
$=A(S_1^3-3S_1S_2+3S_3)+\frac 12(B+C)(S_1S_2-3S_3)+\frac 12(C-B)N+DS_3=$
$=AS_1^3+(\frac 12(B+C)-3A)S_1S_2+(3A-\frac 32(B+C)+D)S_3+\frac 12(C-B)N$.
Коэффициенты $A,B,C,D$, а также коэффициенты при $S_1^3,S_1S_2,S_3,N$ в последнем выражении однозначно определяются заданным циклическим многочленом. Их можно определить, например, методом неопределённых коэффициентов, подставляя в заданный многочлен и его представление в первом или втором виде координаты точек $(1,0,0)$, $(1,1,0)$, $(1,-1,0)$, $(1,1,1)$.

Предположим, что мы вместо многочленов $S_1,S_2,S_3,N$ взяли три каких-то циклических многочлена степени $\leqslant 3$. Можно ли через них выразить $S_1,S_2,S_3,N$?

[Slav-27]

Null в сообщении #1481726 писал(а):

Получается что $\frac{m}{m^2}=\{c_1S+c_2S_2+c_3P+c_4D+m^2\}$ и размерность равна 4.

Да, и поэтому алгебра циклических многочленов от 3 переменных не может быть порождена менее чем 4 многочленами (вы вроде бы это уже поняли, я пишу на всякий случай).