Значение рекурсивного выражения

[yovska]

Рассмотрим след. задачку. Даны две банки с одинаковым кол-ом шаров. Берем шар наугад из банки $X$ и кладем его в $Y$. Одновременно и наугад берем шар из $Y$ и кладем его в $X$. Повторяем этот процесс четыре раза. Какова теперь вероятность того, что в каждой банке только шары, которые там были изначально? Если $p_{i, n-i}(k)$ означает вероятность после $k$ обмена шарами, где в одной банке окажутся $i$ шаров изначально ей пренадлежавших и $n-i$ шаров из другой банки, то нам требуется вычислить $p_{n, 0}(4)$. Тогда, рекурсивно имеем

$p_{n, 0}(4) = \frac 1n \cdot \frac 1n \cdot p_{n - 1, 1}(3), \\ p_{n - 1, 1}(3) = p_{n, 0}(2) + 2 \cdot \frac{n - 1}{n} \cdot \frac 1n \cdot p_{n - 1, 1}(2) + \frac 2n \cdot \frac 2n \cdot p_{n - 2, 2}(2), \\ p_{n, 0}(2) = \ldots \\ \ldots$


Вопрос про выражение $p_{n - 1, 1}(3)$. Что это значит словами?

В частном случае, формула полной вероятности выглядит так:



Используя нотацию из картинки выше, имеем $p(A_1) = p_{n, 0}(2), \ p(A_2) = p_{n-1, 1}(2), \ p(A_3) = p_{n-2, 2}(2)$. Это так? Тогда, где в этом выражений $B$? $B$ имеет два значения? Еще, что конкретно описывает $2 \cdot \frac {n-1}{n} \cdot \frac 1n$? Хотя откуда взялась двойка ясна. Также, для полноты картины, не должнo ли $p_{n, 0}(2)$ иметь какой-нибудь коэфициент, к примеру $B$?