Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки x_0

[rar]

Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки $x_0$ до члена $(x-x_0)^n$:
$f(x)=\ln(3x+4)$

Помогите с решением. Подскажите как раскладывать функцию в окрестности точки до какого-то члена. У самого никакой информации по этому вопросу нету.

[AD]

Ну как это как ...
Формула Тейлора она и есть формула Тейлора. Остаточный член, видимо, требуется "в форме Пеано", то есть $o\bigl((x-x_0)^n\bigr)$.

$$f(x)=\sum_{k=0}^nf^{(k)}(x_0)\frac{(x-x_0)^k}{k!}+o\bigl((x-x_0)^n\bigr)$$

.

Ну то бишь находите $n$ производных и вписываете их в эту формуху.

[Brukvalub]

Это AD пошутил...

\[\ln (3x + 4) = \ln 4 + \ln (1 + 0.75x)\]

А далее используйте то стандартное разложение для логарифма, которое в соседней теме Вам написал ewert. Только он написал его в виде асимптотического ряда, который Вам предстоит оборвать и приписать к сумме его первых к членов остаточный член.

[AD]

Brukvalub писал(а):

Это AD пошутил...

Brukvalub, это у вас разложение в точке $1$. В условии не указано, что $x_0=1$.

Добавлено спустя 45 секунд:

Ничего сложного ведь, производные от степенной функции легко считаются явно.

[Профессор Снэйп]

$$ \ln (3x+4) = \ln \big(3(x-x_0) + 3x_0 + 4\big) = \ln (3x_0+4) + \ln \left( 1 + \frac{3}{3x_0+4}(x-x_0)\right) $$

[Brukvalub]

Да, расстроился из-за своей невнимательности....Будем считать, что я хотел написать то же самое, что и Профессор Снэйп

[rar]

Профессор Снэйп писал(а):

$$ \ln (3x+4) = \ln \big(3(x-x_0) + 3x_0 + 4\big) = \ln (3x_0+4) + \ln \left( 1 + \frac{3}{3x_0+4}(x-x_0)\right) $$

Это решение?

[worm2]

Нет, это ещё не всё решение.
Для Профессора Снэйпа, как и для многих других здесь, очевидно, что делать дальше. А Вам ещё нужно суметь вычислить k-ю производную от этого выражения в точке $x_0$ (в идеале --- понять, почему в такой форме производная вычисляется проще ) и подставить в формулу Тэйлора, которой Вас любезно снабдил AD.

Добавлено спустя 1 минуту 28 секунд:


Ладно, я тоже пошутил, просто воспользуйтесь хорошо известным разложением для $\ln (1+t)$ в окрестности нуля.

[AD]

Ну на самом деле, конечно, Профессор Снэйп предлагается воспользоваться готовой формулой для логарифма и подставить в нее соответствующий аргумент.

[rar]

Может быть где-нибудь есть какой-нибудь простенький пример по типу данной задачи?

[Архипов]

Корифеи тут всё расписали, а я приведу простой пример.
Нужно вычислить логарифм любого числа (например числа 57) с большой точностью. Что мы делаем? Подбираем целый показатель степени числа е для данного числа 57. (1 - 2,7_ 2 - 7,4_3 - 20,3_4 -55,405866 - ближайшее к 57 число).
Вычисляем остаток 57 - 55,405866 =1,594134, делим этот остаток: $a=dx/x^N=1,594134/55,405866=0,0287719$.
Ряд Тейлора $ln(57)=4+a-a^2/2+a^3/3-a^4/4+......$ в готовом виде. Подставляем в него значения $a$ до тех пор, пока в калькуляторе при возведении $a$ в очередную степень не останутся одни нули.
Как составить ряд в готовом виде?
$y'=(lnx)'=1/x$
$y''=(1/x)'=-x^-^2$
$y'''=(-x^-^2)'=2x^-^3$
$y''''=(2x^-^3)'=-2*3x^-^4$
..................................
Подставляем производные в функциональный ряд Тейлора $(dx/x^N=a)$:
$ln(x^N(1+dx/x^N))=N+a-a^2/2+a^3/3-...$

[Профессор Снэйп]

Ну и бред! Архипов, Вас шаман в тундре учил логарифмы вычислять?

[TOTAL]

Архипов писал(а):

Корифеи тут всё расписали, а я приведу простой пример.
Нужно вычислить логарифм любого числа (например числа 57) с большой точностью.

Мне нужен логарифм числа 2 с 10000 знаками. Найдите по своей простой методе.

[Архипов]

Профессор Снэйп писал(а):

Ну и бред! Архипов, Вас шаман в тундре учил логарифмы вычислять?

Посмотрите на свой текст. Тоже, видно, из тундры недавно...
Вычислим действительно логарифм числа 57.
$e^4$ = 54,59815003 $a=$ 2,401849967/54,59815003 = 0,043991417
$ln(57)=4+0,043991417-0,000967622+0,000002837-0,000000093+0,000000003=4,043051268$
Если не опровергните это значение (с этой точностью), то - в тундру.

Добавлено спустя 2 часа 52 минуты 41 секунду:

TOTAL писал(а):

Мне нужен логарифм числа 2 с 10000 знаками. Найдите по своей простой методе.

Получается $ln(2)=0+1-1/2+1/3-1/4+...$ и так далее до нужного количества знаков.

[Brukvalub]

Архипов писал(а):

TOTAL писал(а):

Мне нужен логарифм числа 2 с 10000 знаками. Найдите по своей простой методе.

Получается $ln(2)=0+1-1/2+1/3-1/4+...$ и так далее до нужного количества знаков.

Глупости Вы, Архипов, пишете. Так логарифмы даже в тундре давно уже не читают. Давным-давно (еще Эйлером и другими классиками) придуманы быстро сходящиеся ряды, считающие элементарные функции, а ваш ряд сходится со скоростью улитки. Возьмите второй том трехтомника Фихтенгольца и почитайте там про ряды, уверен, что Вы откроете много для себя нового, как и всякий второкурсник мех-мата.