Что такое формальная сумма?

[Vladimir Pliassov]

Что такое формальная сумма?

Это выражение очень часто встречается, но трудно найти ответ на вопрос, что оно значит.

То, что я нашел:

1. Линейная комбинация векторов это формальная сумма (например, у Александрова: "Рассмотрим множество $L_C$, состоящее из всех формальных сумм вида $x+iy$, где $x, y \in L, \,\,i$- мнимая единица.").

2. $(1+1=1+1)$ это формальная сумма, а $(1+1=2)$ - нет.

Где можно получить исчерпывающий ответ?

[Eule_A]

Vladimir Pliassov в сообщении #1480581 писал(а):

Что такое формальная сумма?

Объединили несколько объектов в одну запись, а что можно делать с результатом - (пока) не объяснили. Потом, когда объяснят, должно проглянуть сходство с суммой в привычном понимании.

[Vladimir Pliassov]

Спасибо.

[yovska]

Вот что удалось нагуглать.

https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_sum.

Вас такое устраевает?

В теорий(?) производящих функций последовательностей часто приходится манипулировать рядами как чисто алгебраичиским обьектом без каких-либо лишних мыслей про сходимость и т.п. Я приведу простой пример ниже. Такие ряды называются формальными.

Также, видимо, этот термин используется в алгебре (в теорий групп и векторных пространств).


Вопрос: из какой функций можно получить последовательность $1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \ldots, $ где $\alpha$ есть постоянная?

Ответ: по опред-ию, $G(z) = 1 + \alpha z + \alpha^2 z^2 + \alpha^3 z^3 + \ldots = \frac{1}{1 - \alpha z}$. Аналитические свойства $G(z)$ тут нас совершенно не интересуют.

Ссылаясь на опед-ие из ссылки можно привести пример и для вект. пространств. К примеру, $\{1, t, t^2, \ldots, t^n\}$ -- базис для многочлена степени $n$. Тогда $\sqrt 2(t + t^2)$ явл-ся формальной суммой. Для чего это опред-ие? Понятия не имею.

[Mikhail_K]

yovska в сообщении #1480760 писал(а):

Для чего это опред-ие? Понятия не имею.

Зачем же Вы пишете то, о чём понятия не имеете?
Тем более что ответ на вопрос ТС уже дан.
В любом случае, "нагугланное" никакой ясности в вопрос внести не может, а может только запутать.

[Vladimir Pliassov]

[quote="yovska в сообщении #1480760"]Вот что удалось нагуглать.

https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_sum.

Большое спасибо!

Я посмотрел, потом зашел сюда https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0 ... 0%BF%D0%B0

и увидел, что "элементы свободной абелевой группы с базисом B называют также формальными суммами над B".

То есть элемент группы объявляется формальной суммой.

И в https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_sum

стоит: "an element of a vector space, a sum of finitely many elements from a given basis set".

Однако если формальная сумма это левая часть уравнения без правой (как Вам такое определение?) - то есть это когда дается сумма в виде $a+b+ \ldots + w$ и не сообщается, чему она равна, - то, когда элемент группы или пространства объявляется формальной суммой, она перестает быть таковой, потому что сообщается, чему она равна - элементу группы (пространства).

Зачем же ее в таком случае называть формальной?

Так что я согласен с Вами в том, что определение из приведенной Вами ссылки вызывает вопросы.