2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Частица на окружности
Сообщение24.08.2020, 01:16 


07/07/12
402
Бесспиновая нерелятивистская частица массы $m$ с зарядом $q$ движется по окружности радиуса $r$. Найдите энергетический спектр частицы в двух случаях: 1) в плоскости окружности имеется сильное электрическое поле $\mathbf{E}$, такое что $q |\mathbf{E}| \gg \hbar^2/mr^2$; 2) нормально к плоскости окружности через ее центр проходит соленоид радиуса $a<r$, который создает магнитное поле $\mathbf{B}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица на окружности
Сообщение24.08.2020, 21:09 


01/08/12
26
Попробую ответить для разнообразия. Мимо?

1) $E_n = - q \vert \mathbf{E} \vert r + \hbar \sqrt{\frac{q \vert \mathbf{E} \vert }{m r}} (n + 1/2),$
2) $E_n = \frac{1}{2 m r^2} \left[\hbar n - \frac{q B a^2}{2 c r}\right]^2$

(Оффтоп)

1) Уравнение Шредингера имеет вид $ \psi''_n + \frac{2 m r^2}{\hbar^2}\left[ E_n + q \vert\mathbf{E}\vert r \cos \varphi \right] \psi_n = 0$, что получается из гамильтониана $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} - q \vert \mathbf{E} \vert  r\cos \varphi$. В условии сказано, что $ q \vert \mathbf{E} \vert  \gg \hbar^2/2mr^2$. Как я понимаю, это просто нам говорит, что плотность вероятности в основном сконцентрирована в области $ \varphi \ll 1$ ($q > 0$). А значит для низколежащих уровней можно просто разложить косинус и перейти к осциллятору, что дает спектр
$E_n = - q \vert \mathbf{E} \vert r + \hbar \sqrt{\frac{q \vert \mathbf{E} \vert }{m r}} (n + 1/2).$
2) А тут проще, только нужно написать аккуратно вектор-потенциал. Внутри соленоида напишем стандартное $\mathbf{A} = \frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{r}\text{, }\mathbf{B} = (0, 0, B)$, что очевидно дает внутри $A_\varphi = Br/2\text{, }A_r = 0$. Вне соленоида нужно, чтобы $\operatorname{rot}\mathbf{A} = 0$ а поток через любую окружность все тот же $B \pi a^2$, что даст $A_\varphi = \frac{Ba^2}{2 r}\text{, } A_r = 0$. Уравнение Ш. будет иметь вид

$\left[ - i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} - \frac{q}{c} \frac{B a^2}{2 r} \right]^2 \frac{1}{2 m r^2} \psi_n = E_n \psi_n. $


С учетом очевидного $\psi_n(\varphi + 2\pi) = \psi_n$ спектр получается сразу $E_n = \frac{1}{2 m r^2} \left[\hbar n - \frac{q B a^2}{2 c r}\right]^2.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица на окружности
Сообщение24.08.2020, 21:40 


07/07/12
402
Все верно, только во втором выражении с вынесением $r$ за квадратные скобки немного приврали.

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица на окружности
Сообщение24.08.2020, 22:01 


01/08/12
26
Да, вижу.

$\frac{ \left[ \mathbf{p} - \frac{q}{c} \mathbf{A} \right]^2}{2m} \to   \frac{ \left[ (- i \hbar) \left(\hat{r} \frac{\partial}{ \partial r} +  \hat{\varphi}\frac{1}{r}\frac{ \partial}{ \partial \varphi} + \hat{z} \frac{ \partial}{ \partial z} \right)- \frac{q}{c} (\hat{r} A_r + \hat{\varphi}A_\varphi + \hat{z}A_z) \right]^2}{2m} \to \frac{\left[ - i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} - \frac{q}{c} A_\varphi r\right]^2}{2 m r^2 }.$

Что дает $E_n = \frac{1}{2 m r^2} \left[\hbar n - \frac{q B a^2}{2 c}\right]^2ю$

 Профиль  
                  
 
 Re: Частица на окружности
Сообщение24.08.2020, 22:11 


07/07/12
402
Верно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group