Частица на окружности

[physicsworks]

Бесспиновая нерелятивистская частица массы $m$ с зарядом $q$ движется по окружности радиуса $r$. Найдите энергетический спектр частицы в двух случаях: 1) в плоскости окружности имеется сильное электрическое поле $\mathbf{E}$, такое что $q |\mathbf{E}| \gg \hbar^2/mr^2$; 2) нормально к плоскости окружности через ее центр проходит соленоид радиуса $a<r$, который создает магнитное поле $\mathbf{B}$.

[AAMstudent]

Попробую ответить для разнообразия. Мимо?

1) $E_n = - q \vert \mathbf{E} \vert r + \hbar \sqrt{\frac{q \vert \mathbf{E} \vert }{m r}} (n + 1/2),$
2) $E_n = \frac{1}{2 m r^2} \left[\hbar n - \frac{q B a^2}{2 c r}\right]^2$

(Оффтоп)

1) Уравнение Шредингера имеет вид $ \psi''_n + \frac{2 m r^2}{\hbar^2}\left[ E_n + q \vert\mathbf{E}\vert r \cos \varphi \right] \psi_n = 0$, что получается из гамильтониана $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2 m r^2} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} - q \vert \mathbf{E} \vert r\cos \varphi$. В условии сказано, что $ q \vert \mathbf{E} \vert \gg \hbar^2/2mr^2$. Как я понимаю, это просто нам говорит, что плотность вероятности в основном сконцентрирована в области $ \varphi \ll 1$ ($q > 0$). А значит для низколежащих уровней можно просто разложить косинус и перейти к осциллятору, что дает спектр
$E_n = - q \vert \mathbf{E} \vert r + \hbar \sqrt{\frac{q \vert \mathbf{E} \vert }{m r}} (n + 1/2).$
2) А тут проще, только нужно написать аккуратно вектор-потенциал. Внутри соленоида напишем стандартное $\mathbf{A} = \frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{r}\text{, }\mathbf{B} = (0, 0, B)$, что очевидно дает внутри $A_\varphi = Br/2\text{, }A_r = 0$. Вне соленоида нужно, чтобы $\operatorname{rot}\mathbf{A} = 0$ а поток через любую окружность все тот же $B \pi a^2$, что даст $A_\varphi = \frac{Ba^2}{2 r}\text{, } A_r = 0$. Уравнение Ш. будет иметь вид

$\left[ - i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} - \frac{q}{c} \frac{B a^2}{2 r} \right]^2 \frac{1}{2 m r^2} \psi_n = E_n \psi_n. $


С учетом очевидного $\psi_n(\varphi + 2\pi) = \psi_n$ спектр получается сразу $E_n = \frac{1}{2 m r^2} \left[\hbar n - \frac{q B a^2}{2 c r}\right]^2.$

[physicsworks]

Все верно, только во втором выражении с вынесением $r$ за квадратные скобки немного приврали.

[AAMstudent]

Да, вижу.

$\frac{ \left[ \mathbf{p} - \frac{q}{c} \mathbf{A} \right]^2}{2m} \to \frac{ \left[ (- i \hbar) \left(\hat{r} \frac{\partial}{ \partial r} + \hat{\varphi}\frac{1}{r}\frac{ \partial}{ \partial \varphi} + \hat{z} \frac{ \partial}{ \partial z} \right)- \frac{q}{c} (\hat{r} A_r + \hat{\varphi}A_\varphi + \hat{z}A_z) \right]^2}{2m} \to \frac{\left[ - i \hbar \frac{\partial}{\partial \varphi} - \frac{q}{c} A_\varphi r\right]^2}{2 m r^2 }.$

Что дает $E_n = \frac{1}{2 m r^2} \left[\hbar n - \frac{q B a^2}{2 c}\right]^2ю$

[physicsworks]

Верно.