Наивные вопросы по линейной алгебре

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1480400 писал(а):

, что $J^2 =-\operatorname{id}$,

и при чем тут казалось бы уравнения Гамильтона

[Утундрий]

Anton_Peplov в сообщении #1480432 писал(а):

Вопрос, по-видимому, закрыт, всем спасибо!

Я это всем советую, так что посоветую и об Вас. Не говорите просто "я всё понял, поехали дальше". Завершите лучше развёрнутым ответом на свой собственный вопрос.

[Padawan]

Странно, что вообще такой вопрос возник. Все вещественные пространства одной размерности изоморфны. Значит, вопрос сводится к тому, можно ли ввести комплексную структуру на $\mathbb R^{2n}$. Очевидно, что можно. Посмотрите на $\mathbb C^n$ и смоделируйте его как $\mathbb R^{2n}$.

[Утундрий]

Ну, может же человек хоть раз спросить о том, чего он не знает?

[Anton_Peplov]

Утундрий в сообщении #1480436 писал(а):

Не говорите просто "я всё понял, поехали дальше". Завершите лучше развёрнутым ответом на свой собственный вопрос.

Рассмотрим конечномерное вещественное линейное пространство $L$ размерности $n$. Линейный оператор $J: L \to L$ такой, что $J^2 =-\operatorname{id}$, называется комплексной структурой на $L$.

Теорема. Комплексную структуру $J: L \to L$ можно ввести для любого чётного $n$.
Доказательство. Зафиксируем некоторый базис пространства $L$. Всякая матрица $n \times n$ будет матрицей некоторого линейного оператора в этом базисе. Рассмотрим матрицу $J_n$ вида

$$ J_n = \begin{pmatrix} 0 && 0 && \dots && 0 && J_2 \\ 0 && 0 && \dots && J_2 && 0\\ \dots \\ J_2 && 0 && \dots && 0 && 0 \end{pmatrix} $$

где

$$ J_2 = \begin{pmatrix} 0 && 1 \\ -1 && 0 \end{pmatrix} $$

Очевидно, что ${J_n}^2 = -E$, где $E$ - единичная матрица. Т.к. произведение матриц линейных операторов - это матрица произведения линейных операторов, то для линейного оператора $J$, отвечающего матрице $J_n$, имеем $J^2 =-\operatorname{id}$. Теорема доказана.

[Padawan]

А почему блоки просто по главной диагонали не поставить?
Есть, кстати, еще вариант

$$ \begin{pmatrix} O && -E \\ E && O \end{pmatrix} $$

Такая матрица умножения на мнимую единицу соответствует представлению вектора $(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbb C^n$ в виде вектора $(x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb R^{2n}$ (сначала идут все действительные части, потом все мнимые).

[vpb]

Padawan в сообщении #1480472 писал(а):

А почему блоки просто по главной диагонали не поставить?

Да, я именно это и имел в виду.