Функция, всюду непрерывная, но дифференцируемая только в одн

[Ilnur]

Имеются ли функции, всюду непрерывные, но дифференцируемые только в одной точке?

[RIP]

Существуют. Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию и домножьте её на подходящий множитель.

[Dan B-Yallay]

Если вы знаете пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции, то по-моему несложно построить пример для вашего случая.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

RIP писал(а):

Существуют. Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию и домножьте её на подходящий множитель.

Я опоздал на 1 минуту почти

[ewert]

RIP писал(а):

Существуют. Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию и домножьте её на подходящий множитель.

недостаточно убедительно. На какой конкретно подходящий? если функция любая?

Нужен конкретный пример, в котором характер недифференцируемости хоть в одной точке явно бы контролировался.

[нг]

ewert
Пожалуйста, не выпендривайтесь. В этом разделе форума намеренно оставляют ответы неявными, чтобы вопрошающий мог подумать.

[AD]

Может, расширим вопрос? Интересно, для каких множеств $E\subseteq\mathbb{R}$ существует непрерывная функция, дифференцируемая в точности на $E$?

Мне, например, ясно только что $E$ должно быть измеримым.

[RIP]

Ну, для замкнутого $E$ пример строится точно так же, а вот как быть с другими — фиг его знает.

[Someone]

ewert писал(а):

недостаточно убедительно. На какой конкретно подходящий? если функция любая?

На $x^2$.

[Brukvalub]

ewert писал(а):

Не прокатит. Ни на какую конкретную функцию не прокатит. Ибо право-левые верхне-нижние производные вправе быть сколь угодно бесконечными.

А вот отдельные товарищи почему-то считают, что я тут выёживаюсь...

Конечно, выёживаетесь. Объясняю. Непрерывная в единичной окрестности нуля функция f(x) ограничена в ней некоторой константой С. Тогда

\[\left| {\frac{{x^2 f(x)}}{x}} \right| < C\left| x \right| \to 0\]

, то есть производная в нуле есть и равна 0. Нужно объяснять, почему ее не возникнет в других точках?

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию...

А это правда, что такая функция называется "пила Вейерштрасса"? И, кстати, она "в явном виде" как-то строится или утверждение о наличии такой функции --- "чистая" теорема существования?

[AD]

$$\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\cos(8^kx)$$

подходит.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

А это правда, что такая функция называется "пила Вейерштрасса"? И, кстати, она "в явном виде" как-то строится или утверждение о наличии такой функции --- "чистая" теорема существования?

Конкретно под названием "пила Вейерштрасса" мне известна следующая функция. Обозначим $\varphi(x)$ периодическую функцию с периодом $T=1$, которая на промежутке $[0,1)$ определяется так:

$$\varphi(x)=\begin{cases}x\text{ при }0\leqslant x<\frac 12\text{,}\\ 1-x\text{ при }\frac 12\leqslant x<1\text{.}\end{cases}$$

Тогда "пила" определяется как

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\varphi(2^kx)}{2^k}\text{.}$$

[Brukvalub]

Читаем, например, это: http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2001/02/kv0201kaleid.pdf
Все построенные там примеры - конструктивны!

[Ilnur]

AD писал(а):

$$\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\cos(8^kx)$$

подходит.

Если я правильно понял, то данная функция непрерывная и нигде не дифференцируемая. Только не совсем понятно, на какую множитель надо ее умножить, чтобы получилась всюду непрерывная, но дифференцируемая только в одной точке функция!

[Brukvalub]

Ilnur писал(а):

Только не совсем понятно, на какую множитель надо ее умножить, чтобы получилась всюду непрерывная, но дифференцируемая только в одной точке функция!

Someone писал(а):

На $x^2$