Вычислить предел используя разложение по формуле Тейлора

[rar]

Вычислить предел используя разложение по формуле Тейлора:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{\frac{x^2}{2}+\sin x+\ln(1-x)}$$

У меня абсолютно нет никакой информации по тому как вычислять пределы используя разложение по формуле Тейлора. Не могли бы вы мне помочь, так подсказать или может ссылки какие привести. Буду премного благодарен.

[ewert]

ну стандартные-то формулы Тейлора для синуса и для логарифма у всех есть, пусть на шпаргалке. Смело подставляйте в знаменатель эти разложения до третьих степеней включительно -- и будет счастье.

[rar]

А вот у меня по видимому нет, даже в учебнике. Не могли бы скинуть информацию по теме?..

[ewert]

rar писал(а):

А вот у меня по видимому нет, даже в учебнике. Не могли бы скинуть информацию по теме?..

$$\sin(x)\sim x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-{x^7\over7!}+{x^9\over9!}-\ ...$$

$$\ln(1+x)\sim x-{x^2\over2}+{x^3\over3}-{x^4\over4}+{x^5\over5}-\ ...$$

[rar]

Ну хоть на пальцах обьяснтите что теперь надо сделать.

[bot]

Да тут уж все пальцы использовали и фактически решение выложили. Разве что ответ написать осталось.

[Алексей К.]

ewert писал(а):

$$\sin(x)\sim x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-{x^7\over7!}+{x^9\over9!}-\ ...$$

Ну, если Вас смущают восклицательные знаки в формулах, то, например, $3!$ означает $1\cdot 2\cdot 3=6$, а $9!$ --- $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9=362880$. Вопросительные знаки пока в формулы, слава богу, не впаривают.

[bot]

Разве что аналогичный пример показать.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos 2x - e^{-2x^2}}{x^4}$

Используя разложения $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$ и $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

получаем $\cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4)$ и $e^{-2x^2}= 1 - 2x^2 + 2x^4 + o(x^4)$

Подставляем в предел:

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} -1 + 2x^2 - 2x^4 +o(x^4)}{x^4}=\lim\limits_{x\to 0}(\frac{2}{3}-2+\frac{o(x^4)}{x^4})=-\frac{4}{3}$

[rar]

Вот теперь, я дума, верно.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{\frac{x^2}{2}+\sin x+\ln(1-x)}$ = $\left|\begin{array}{l}\sin x$ = $x-\frac{x^3}{\over3!}+o(x^3)\\ \ln [1+(-x)]$ = $(-x)-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}+o(x^3)\end{array}\right|$ =
= $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{\frac{x^2}{2}+x-\frac{x^3}{\over3!}-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{o(x^3)-\frac{x^3}{2}}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\frac{o(x^3)}{x^3}-\frac{1}{2}}$ = $-2$

[Brukvalub]

Поделить числитель и знаменатель на

\[ x^3 \]

[rar]

Вот так? Теперь правильно?
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{o(x^3)-\frac{x^3}{3}}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\frac{o(x^3)}{x^3}-\frac{1}{3}}$ = $-3$

[ASFK]

Да

[rar]

Спасибо.

[AD]

ААА Ну зачем в логарифм-то факториалов напихали!!!

[rar]

Пардон, сейчас исправлю. А слона-то я и не приметил...