Числовое неравенство.

[renatxat]

Докажите, что для любого натурального числа n выполнено неравенство:

$$\frac{1}{1^2+2019}+\frac{1}{2^2+2019}+...+\frac{1}{n^2+2019}\le\frac {2}{45}.$$

[nnosipov]

Сумма не превосходит интеграла от нуля до бесконечности, а интеграл меньше $2/45$. Для доказательства последнего неравенства нужно, конечно, знать число $\pi$ с каким-то количеством знаков.

Upd. Еще один вариант доказательства: усилить неравенство, заменив правую часть на $2/45-c/n$, где константу $c>0$ подобрать так, чтобы неравенство можно было доказать индукцией по $n \geqslant 1$.

[novichok2018]

Я бы заменил 2019 на $1936=44^2$, чтобы не путаться с корнями.

[Pphantom]

novichok2018 в сообщении #1478618 писал(а):

Я бы заменил 2019 на 1936=44^2, чтобы не путаться с корнями.

novichok2018, относитесь, пожалуйста, внимательнее к оформлению формул. Выше поправлено.

[nnosipov]

Сумма $S_n$ имеет асимптотику

$$A-\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad n \to \infty,$$

где $A<2/45$. Как следствие, неравенство $S_n<2/45-1/n$ верно при всех достаточно больших $n$ (и может быть доказано по индукции, однако базу индукции придется поискать).

Upd. Неравенство $S_n<2/45-1/n$ верно при $n \geqslant 33$.

[TOTAL]

$$\cdots < \frac{k}{2019}+\frac{1}{(k+1)^2}+\dots < \frac{k}{2019}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)+\dots< \frac{k}{2019}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)$$