2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Числовое неравенство.
Сообщение12.08.2020, 12:59 


12/08/20
9
Докажите, что для любого натурального числа n выполнено неравенство:
$$\frac{1}{1^2+2019}+\frac{1}{2^2+2019}+...+\frac{1}{n^2+2019}\le\frac {2}{45}.$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовое неравенство.
Сообщение12.08.2020, 13:20 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Сумма не превосходит интеграла от нуля до бесконечности, а интеграл меньше $2/45$. Для доказательства последнего неравенства нужно, конечно, знать число $\pi$ с каким-то количеством знаков.

Upd. Еще один вариант доказательства: усилить неравенство, заменив правую часть на $2/45-c/n$, где константу $c>0$ подобрать так, чтобы неравенство можно было доказать индукцией по $n \geqslant 1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовое неравенство.
Сообщение12.08.2020, 15:35 
Заблокирован


16/04/18

1129
Я бы заменил 2019 на $1936=44^2$, чтобы не путаться с корнями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовое неравенство.
Сообщение12.08.2020, 15:46 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 ! 
novichok2018 в сообщении #1478618 писал(а):
Я бы заменил 2019 на 1936=44^2, чтобы не путаться с корнями.
novichok2018, относитесь, пожалуйста, внимательнее к оформлению формул. Выше поправлено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовое неравенство.
Сообщение12.08.2020, 16:25 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Сумма $S_n$ имеет асимптотику $$A-\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right), \quad n \to \infty,$$ где $A<2/45$. Как следствие, неравенство $S_n<2/45-1/n$ верно при всех достаточно больших $n$ (и может быть доказано по индукции, однако базу индукции придется поискать).

Upd. Неравенство $S_n<2/45-1/n$ верно при $n \geqslant 33$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Числовое неравенство.
Сообщение13.08.2020, 08:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5420
Нов-ск
$$\cdots < 
\frac{k}{2019}+\frac{1}{(k+1)^2}+\dots <
\frac{k}{2019}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)+\dots<
\frac{k}{2019}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\right)$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group