Задача Дирихле для комплексного УЧП

[Mikhail_K]

Здравствуйте.

Есть задача Дирихле (например, в прямоугольнике; пусть однородная) для уравнения

$$ {\rm{div}}(p(x)\nabla u(x))-\lambda u(x)=f(x), $$

где $p(x)>0$ - достаточно гладкая функция, $\lambda\in\mathbb{C}$, ${\rm{Re}}\lambda>0$.
Фактически, это вычисление резольвенты для самосопряжённого оператора - там, где она существует.

Какие численные методы можно применять для решения таких задач? Где о них можно почитать (с какими-нибудь оценками погрешности)?
Годится ли здесь метод сеток (возникли в этом сомнения)?

В книгах по численным методам в основном рассматривается случай уравнений с вещественными коэффициентами.

[novichok2018]

Нужно уточнение задачи. Сами функции действительные или тоже комплексные, и какие из оставшихся двух? Дивергенция от комплексной функции - это что? Оператора пока нет, есть дифференциальное выражение - нужны дополнительные краевые условия; если прямоугольник - то значения заданные на границе действительные или комплексные? Самосопряжённость - где, в каких пространствах? Если в комплексных - будет ли она?
В частном одномерном случае при комплексном лямбда - получается что?
Численно стандартный подход - расписать комплексные числа и функции через действительные, свести к системе двух уравнений с действительными коэффициентами для действительных решений.

[Mikhail_K]

novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):

Сами функции действительные или тоже комплексные

Аргументы $x=(x_1,x_2)$ вещественные. Функция $p(x)$ вещественная (сказано, что она принимает положительные значения); функция $f(x)$ - пусть тоже вещественная. Неизвестная функция $u(x)$ - очевидно, может принимать комплексные значения.

novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):

Дивергенция от комплексной функции - это что?

Всё понимается в самом обычном смысле:

$$ \frac{\partial}{\partial x_1}\left(p(x)\frac{\partial u(x)}{\partial x_1}\right)+\frac{\partial}{\partial x_2}\left(p(x)\frac{\partial u(x)}{\partial x_2}\right)-\lambda u(x)=f(x) $$

novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):

если прямоугольник - то значения заданные на границе действительные или комплексные?

Нулевые (однородная задача Дирихле).

novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):

Оператора пока нет, есть дифференциальное выражение

Специально не стал конкретизировать пространства, интересуют численные методы решения такой задачи в любой разумной постановке, с оценками погрешности.

novichok2018 в сообщении #1478508 писал(а):

Численно стандартный подход - расписать комплексные числа и функции через действительные, свести к системе двух уравнений с действительными коэффициентами для действительных решений.

Спасибо!
Получается такая вещественная система относительно вещественных функций $v,w$ в прямоугольнике $\Omega$:

$$ \begin{Bmatrix}Av+\eta w=f\\Aw=\eta v\\v|_{\partial\Omega}=0,\,w|_{\partial\Omega}=0\end{Bmatrix} $$

- или, если угодно, задача для уравнения четвёртого порядка

$$ A^2w+\eta^2 w=\eta f,\,w|_{\partial\Omega}=0,\,Aw|_{\partial\Omega}=0, $$

где

$$ (Au)(x)={\rm{div}}(p(x)\nabla u(x))-\xi u(x),\quad \xi>0,\,\eta\neq 0. $$

Не подскажете книги, где излагаются численные методы решения таких систем (систем эллиптических УЧП) или таких уравнений (четвёртого порядка), с оценками погрешности?

[Утундрий]

Повышать порядок обычно не выгодно. Лучше перейти к двухкомпонентной искомой функции.

[Mikhail_K]

Я попробовал применить метод сеток к исходной задаче для комплексного УЧП напрямую.
А потом применил метод сеток к задаче для системы из двух вещественных УЧП, к которой исходная задача сводится.
Получились близкие результаты.
Так что, видимо, метод сеток применим и к задачам для комплексных УЧП, и к задачам для систем вещественных УЧП рассматриваемого вида.
Сложно поверить, что этим вопросом никто не занимался. Вроде бы, задачи вполне обычного вида. Но мне по-прежнему не удаётся найти литературу, в которой обосновывался бы метод сеток с оценками погрешности и для того, и для другого. Самому, что ли, эти оценки попробовать получить.
Обращаю внимание, что в рассматриваемых УЧП есть член как в уравнении Гельмгольца, вещественный или комплексный.

[Утундрий]

Mikhail_K в сообщении #1479746 писал(а):

видимо, метод сеток применим и к задачам для комплексных УЧП, и к задачам для систем вещественных УЧП рассматриваемого вида.

Удивительного в этом мало, так как алгебра по сути та же самая.