Длинная линия с источниками ЭДС

[Fenribel]

Делаю расчёт для своего эксперимента. Имеется проводящая змейка (в виде меандра из квантовой ямы HgTe), над каждым вторым плечом этой змейки через слой диэлектрика расположен гейт -- ещё один проводящий слой, на который подаётся напряжение. Змейка, она же квантовая яма, находясь в переменном магнитном поле генерирует (переменное) электрическое поле вдоль своих плеч, ориентированное относительно направления магнитного поля. Напряжение на затворе, воздействуя на электроны, вводит дисбаланс полей: на каждом втором плече змейки отсутствует внутреннее ЭДС, а на других каждых вторых -- присутствует, причём так, что эти ЭДС стоят последовательно и смотрят "в одну сторону". Необходимо померить это ЭДС измерением напряжения на концах змейки. Так или иначе, я свёл эту задачу к следующей:


первая подзадача) имеется длинная линия с распределённым сопротивлением, ёмкостью -- и ЭДС. Гейт эффективно (по переменному току) заземлён, один конец змейки заземлён. Задача -- найти напряжение на другом конце змейки. Составляю систему дифуров:
$\begin{cases} I'(x) = - i \omega c\ U(x) \\ U'(x) = \varepsilon + i \omega c\ U(x) - I(x) r \end{cases}$
которую я для дальнейшего удобства переписал в действительных и мнимых компонентах:
$\begin{cases} I_r'(x) = \omega c\ U_i(x) \\ I_i'(x) = - \omega c\ U_r(x) \\ U_r'(x) = \varepsilon - \omega c\ U_i(x) - I_r(x) r \\ U_i'(x) = \omega c\ U_r(x) - I_i(x) r \end{cases}$
где все коэффиценты известны (частота и погонные параметры системы).
4 линейных уравнения 1го порядка -- нужны 4 константы и соответственно 4 уравнения на них:
$\begin{cases} U_r(0) = U_i(0) = 0 \\ I_r(l) = I_i(l) = 0\end{cases}$
где $l$ -- координата конца линии (там ток вдоль линии будет равен нулю). Как решить такую систему численно (или может даже аналитически -- но без огромных алгебраических уравнений)? Это не обыкновенный дифур, тут мои функции заданы не в одной точке, а в двух разных. Похоже на краевую задачу, но провести полную аналогию не удалось...

вторая подзадача) имеется n (n примерно равно 100) таких же длинных линий, разделённых конечным резистором (эквивалент плеча змейки, над которым не имеется гейта, в котором индуцированное ЭДС мало по сравнению с ЭДС "под гейтом"). Как в таком случае можно решать численно задачу? Может, есть какие-то аналитические соображения на этот счёт?

Я рашал сразу вторую задачу -- и вот каким методом: варьировал по начальным параметрам -- менял ток в начале цепи и решал обыкновенную задачу Коши (кажется, это так называется) встроенными в питон методами:
$\begin{cases} U_r(0) = U_i(0) = 0 \\ I_r(0) \\ I_i(0) \end{cases}$
Затем смотрел на это решение -- ток в конце цепи должен равняться нулю. Если это не так, то менял начальные параметры пока это не станет так (с какой-то точностью, офк). Но такой процесс довольно медлительный... Тем более, встроенные функции минимизации работают плохо -- градиентный спуск даёт плохой результат. Самое эффективное что нашёл -- просто строить равномерную сетку и в каждой точке решать задачу Коши, смотреть на ток в конце цепи и искать такую точку на сетке, где ток в конце будет минимален (делал нормировку этого тока на максимальный ток в цепи в данной точке сетки).
Может, есть у кого идеи по этой задаче?

[realeugene]

Fenribel в сообщении #1477707 писал(а):

$\begin{cases} I'(x) = - i \omega c\ U(x) \\ U'(x) = \varepsilon + i \omega c\ U(x) - I(x) r \end{cases}$

Обоснуйте ваши уравнения.
ЭДС на переменном токе короткозамкнута.

Fenribel в сообщении #1477707 писал(а):

которую я для дальнейшего удобства переписал в действительных и мнимых компонентах

Лучше не надо.

[Fenribel]

realeugene в сообщении #1477758 писал(а):

Fenribel в сообщении #1477707 писал(а):

которую я для дальнейшего удобства переписал в действительных и мнимых компонентах

Лучше не надо.

Я сделал это для того чтобы решить систему встроенными в python методами -- я не нашёл удобного способа быстро решать уравнения с комплексными коэффицентами. Есть способ лучше?

realeugene в сообщении #1477758 писал(а):

Fenribel в сообщении #1477707 писал(а):

$\begin{cases} I'(x) = - i \omega c\ U(x) \\ U'(x) = \varepsilon + i \omega c\ U(x) - I(x) r \end{cases}$

Обоснуйте ваши уравнения.
ЭДС на переменном токе короткозамкнута.

Да, действительно -- ЭДС на переменном токе короткозамкнута -- ЭДС в моём уравнении -- это генерируемое переменным магнитным полем переменное электрическое (в уравнении, соответственно, его амплитуда, буквально $[\varepsilon] = $ В/м). При выводе уравнений я учитывал, что батарейка, создающая постоянное напряжение на гейте короткозамкнута с землёй по переменному току:

Разобьём всю линию на N участков, состоящих из источника переменного ЭДС с амплитудой $\epsilon$, резистора сопротивления $\rho$ и конденсатора $\gamma$. Конденсатор соединяет линию с гейтом, на которое приложен нулевой потенциал. Также нулевой потенциал приложен к начале линии.


Ток вдоль линии обозначим за $I(x)$. Длину одного участка обозначим за $dx$. Тогда ток, проходящий через конденсатор от линии к гейту будет равен (по Кирхгофу) $I(x) - I(x + dx) = - d I(x)$.
Напряжение в конце узла с координатой $x$ обозначим за $U(x)$. Тогда уравнение на это напряжение будет такое (записываем падение напряжения на конденсаторе): $U(x) = - \dfrac{1}{i \omega \gamma} d I(x)$. Далее, ёмкость $\gamma$ пропорцианальна выбранному $dx$, поэтому это уравнение можем переписать как $U(x) = - \dfrac{1}{i \omega c} I'(x)$, что является первым уравнением моей системы. Теперь в уравнении стоит другая ёмкость -- погонная $c$.


Второе уравнение системы получается из разности напряжений на соседних участках: $U(x) + \epsilon - I(x+dx) \rho = U(x + dx)$ -- тут запишем ток через ток в предыдущем узле: $I(x+dx) = I(x) + dI(x) = I(x) - i \omega \gamma U(x)$ -- из предыдущего уравнения на ток через конденсатор.
Подставляем этот ток в уравнение на разность напряжений: $U(x) + \epsilon - I(x) \rho + i \omega \gamma U(x) \rho = U(x + dx)$. Далее получаем $\epsilon - I(x) \rho + i \omega \gamma U(x) \rho = dU(x)$. Деля это всё уравнение на $dx$ и вводя погонные величины, получаем второе уравнение системы: $\varepsilon - I(x) r + i \omega c r U(x) dx = U'(x)$... Ой) ошибочка получилась... Третье слагаемое выкидывается при стремлении $dx$ к нулю)...

Итого получаем
$\begin{cases} I'(x) = - i \omega c U(x) \\ U'(x) = \varepsilon - I(x) r \end{cases}$

Но суть от этого не сильно поменялась -- "граничные" условия такие:
$\begin{cases} U(0) = 0 \\ I(l) = 0 \end{cases}$
где $l$ -- координата конца

[realeugene]

Fenribel в сообщении #1477810 писал(а):

Я сделал это для того чтобы решить систему встроенными в python методами -- я не нашёл удобного способа быстро решать уравнения с комплексными коэффицентами. Есть способ лучше?

Безусловно. Подобные линейные дифуры легко решаются аналитически, если подставить в них в качестве всех переменных комплексные экспоненты одной частоты. При этом производные по времени уходят, и система уравнений становится линейной алгебраической над полем комплексных чисел. То, что вы начали делать в своём дифуре, но не закончили. Если в уравнении присутствует $\omega$, это уже первый шаг. В исходных уравнениях Кирхгофа во времени никаких частот и мнимых единиц быть не может в принципе.

[Fenribel]

realeugene в сообщении #1477814 писал(а):

Fenribel в сообщении #1477810 писал(а):

Я сделал это для того чтобы решить систему встроенными в python методами -- я не нашёл удобного способа быстро решать уравнения с комплексными коэффицентами. Есть способ лучше?

Безусловно. Подобные линейные дифуры легко решаются аналитически, если подставить в них в качестве всех переменных комплексные экспоненты одной частоты. При этом производные по времени уходят, и система уравнений становится линейной алгебраической над полем комплексных чисел. То, что вы начали делать в своём дифуре, но не закончили. Если в уравнении присутствует $\omega$, это уже первый шаг. В исходных уравнениях Кирхгофа во времени никаких частот и мнимых единиц быть не может в принципе.

Да, после исправления моей ошибки после подстановки нужной экспоненты алгебраические уравнения становятся весьма простыми (до исправления они тоже были алгебраическими, но не очень простыми для простого анализа):


Первая подзадача таким образом получается легко решаемой с помощью средств mathematica. Для аналитического решения этой задачи с такими граничными условиями у меня тоже появились идеи, так что с первой подзадачей врое бы стало всё понятно. (может быть кто-нибудь знает ещё, как работать в математике с (-1)^(1/4) -- подобными величинами? нужно как-то зафиксировать разрез на комплексной плоскости -- ?)

Далее, вторая подзадача. Цепочка таких длинных линий, разделённых конечными резисторами. Аналитическое решение данной задачи кажется мне весьма трудной задачей по количеству алгебраических уравнений. Но может это не так? А даже если так -- какими способами можно решать данную задачу численно -- с моими граничными условиями?

[realeugene]

Картинка мельчит.

На самом деле, я немного неврал: после удаления времени уравнение в частных производных для линии должно свестись к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению с комплексными коэффициентами вдоль длины линии. Учтите, что выделение действительной и мнимой части комплексного числа - это нелинейные операции над полем комплексных чисел.

Исходное уравнение в частных производных вы так и не записали.

На переменном токе источник переменного напряжения обозначается не как батарейка, а как кружочек с тильдой внутри.

[Fenribel]

realeugene в сообщении #1477855 писал(а):

Учтите, что выделение действительной и мнимой части комплексного числа - это нелинейные операции над полем комплексных чисел.

Разве нельзя разделить уравнение $f'(x) = g(x)$ где $g$ и $f$ -- комплексные числа, на два $\begin{cases}f_r'(x) = g_r(x) \\ f_i'(x) = g_i (x) \end{cases}$? Кажется, что можно -- так я и сделал.

realeugene в сообщении #1477855 писал(а):

Исходное уравнение в частных производных вы так и не записали.

Кажется, вы имеете в виду записать временные уравнения Кирхгофа -- я записываю сразу уравнение на комплексную амплитуду сигнала по стандартной технологии вводя комплексный импеданс. Так что кажется, мои уравнения верны -- нужно найти способ численно их решать за конечное время.

realeugene в сообщении #1477855 писал(а):

На переменном токе источник переменного напряжения обозначается не как батарейка, а как кружочек с тильдой внутри.

Буду знать, спасибо)

[realeugene]

Fenribel в сообщении #1477897 писал(а):

Разве нельзя разделить уравнение

Можно. Но уравнение второго порядка решать обычно проще, чем уравнение четвёртого. Кроме того, вам очень полезно сохранить линейность именно над полем комплексных чисел, а не действительных, о чём я напишу ниже.

Вам для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, на самом деле, нужен компьютер?

В длинной линии обычно, кроме погонной ёмкости ещё важна и погонная индуктивность. В вашей задаче она роли не играет?

Fenribel в сообщении #1477707 писал(а):

вторая подзадача) имеется n (n примерно равно 100) таких же длинных линий, разделённых конечным резистором (эквивалент плеча змейки, над которым не имеется гейта, в котором индуцированное ЭДС мало по сравнению с ЭДС "под гейтом").

Когда линия состоит из большого количества однородных линейных элементов часто имеет смысл записать разностное уравнение, потом приблизить это разностное уравнение дифференциальным и решить дифференциальное уравнение, которое, также, окажется уравнением длинной линии, в общем случае с затуханием.

Вам должно помочь понимание следующего факта. Если ваша система имеет два порта (две точки включения во внешнюю цепь) и внутри линейна, то как бы она ни была устроена внутри, связь между напряжениями и токами в портах будет линейной (с дополнительным смещением нуля, если внутренние уравнения линейные неоднородные). То есть всё, что вы ищете, решая уравнения - это матрицу импедансов (или сопротивлений, или аналогичную) 2х2 + вектор из двух констант. Но как раз тут применение при решении нелинейных над полем комплексных чисел преобразований, таких, как разделение на действительную и мнимую часть комплексного числа, всё это удобство убивает.

Кроме того, цепочка из большого количества последовательно включённых друг за другом элементов тривиально решается и численно, если её записать в виде матрицы ABCD параметров. Вообще, ознакомьтесь хотя бы по Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Two-port_network