интегралы

[Spook]

читая одну книжку встретил один очевидный переход, который мне не совсем понятен

$$$\int\limits_{0}^{x}$ds\int\limits_{0}^{s}y(t)dt=\int\limits_{0}^{x}(x-t)y(t)dt$$

куда, собственно, делась переменная $s$?

[PAV]

Во внутреннем интеграле замените верхний предел интегрирования на $x$, умножив при этом подинтегральную функцию на функцию $h(s,t)$, равную 1 при $0<t<s$, и равную нулю при $s<t<x$. После этого обычным образом поменяйте порядок интегрирования. После этого внутренний интеграл (по $s$) должен дать как раз тот множитель, который появился в правой части.

[worm2]

Spook писал(а):

куда, собственно, делась переменная $s$?

Если честно, я тоже сперва не понял
Чтобы стало очевидным, куда делась переменная, нужно ввести обозначение:
$f(s) = \int\limits_0^s y(t)dt$.

[Someone]

Проинтегрируйте "по частям" так, чтобы внутренний интеграл "пропал".

[Spook]

Всем спасибо, к сожалению не смог реализовать метод ПАВа(( и непонятно что будет если $x<t$.

Добавлено спустя 3 минуты 1 секунду:

Someone, да, так и получается, замена просто помогла лучшему восприятию, сейчас пытаюсь разобраться с домножением на функцию $h(s,t)$.

[PAV]

Не может быть $x<t$. Переменная $t$ меняется от 0 до $s$, а переменная $s$ - от 0 до $t$.

Добавлено спустя 5 минут:

Еще раз. Определим индикаторную функцию $h(s,t)$, равную 1, если $t<s$, и 0 в противном случае.

Тогда исходный интеграл можно записать в виде:

$$\int\limits_0^x\,ds\,\int\limits_0^sy(t)\,dt = \int\limits_0^x\,ds\,\int\limits_0^s h(s,t)y(t)\,dt=\int\limits_0^x\,ds\,\int\limits_0^x h(s,t)y(t)\,dt$$

Теперь просто меняем порядок интегрирования, множитель $y(t)$ выходит из под внутреннего интеграла (так как от $s$ не зависит, а внутренний интеграл берется по $s$) и остается интеграл от индикаторной функции $h$, который берется устно.

[Spook]

спасибо, вопрос решен.

[ewert]

боже, какие умные вещи. Надо попросту перейти от повторного интеграла к двойному и поменять порядок интегрирования.