Теория чисел

[fondet]

Условие задачи: Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что $ 3^{n-1} - 2^{n-1} $ кратно n

Решение (не моё):
Возьмём $ n = {3^2}^t - {2^2}^t $ и докажем, что оно удовлетворяет условию задачи при любом натуральном t, большем 1.
Знаем следующее утверждение: Если $ t \mid s $, то $ a^t - 1 \mid a^s - 1$
В силу этого достаточно доказать, что $ n-1 $ делится на $ 2^t $ , т.е. что ${3^2}^t - 1 $ делится на $2^t$ (поскольку ${2^2}^t$ делится на $2^t)$. Ну и дальше идёт довольно простое доказательство этого факта.


Собственно, мне непонятны слова "достаточно доказать, что $ n-1 $ делится на $ 2^t $"
Если мы докажем это утверждение, то получим, что $ {a^2}^t - 1 \mid a^{n-1} - 1$ или (что то же самое) $ a^{n-1} - 1 = ({a^2}^t - 1) \cdot d$

Для того, чтобы решить задачу, нам надо получить следующее: $ 3^{n-1} - 2^{n-1} = ({3^2}^t - {2^2}^t) * d $

Мне пока удалось получить только следующее: $ 3^{n-1} - 2^{n-1} = (3^{n-1} - 1) - (2^{n-1} - 1) = ({3^2}^t - 1)\cdot d_1 - ({2^2}^t - 1)\cdot d_2$. Что делать дальше - не знаю.


А, ну и ещё надо доказать, что то n, которое мы взяли, является составным. Но это довольно просто (легко проверить, что при любом t наше n делится на 5).

[nnosipov]

fondet в сообщении #1477266 писал(а):

Знаем следующее утверждение: Если $ t \mid s $, то $ a^t - 1 \mid a^s - 1$

Лучше знать его более общую версию, которая столь же очевидна: если $ t \mid s $, то $ a^t - b^t \mid a^s - b^s$. Теперь понятно?

[fondet]

nnosipov в сообщении #1477269 писал(а):

fondet в сообщении #1477266 писал(а):

Знаем следующее утверждение: Если $ t \mid s $, то $ a^t - 1 \mid a^s - 1$

Лучше знать его более общую версию, которая столь же очевидна: если $ t \mid s $, то $ a^t - b^t \mid a^s - b^s$. Теперь понятно?

Да, спасибо