Границы множества

[Solaris86]

Фрагмент из Фихтенгольца:

Натуральные числа: $n \in \mathbb{N}$, откуда $n \in [1;+\infty)$ или $1 \leqslant n < +\infty$.
У Фихтенгольца: снизу ограничение 1 или любое число меньше 1 (?). Непонятно.
Правильные дроби: $\frac{m}{n}, m \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, m \not = 0, n\not = 1, |m| < n$, откуда $\frac{m}{n} \in (-1;0) \bigcup (0;1)$ или $0<|\frac{m}{n}|<1$.
У Фихтенгольца: снизу ограничение 0 или любое число меньше 0 (?), сверху ограничение 1 или любое число больше 1 (?). Непонятно.
Помогите разобраться.

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1477259 писал(а):

У Фихтенгольца: снизу ограничение 1 или любое число меньше 1 (?). Непонятно.

Ну, возьмите любое число меньше $1$.
Например число $-2$.
Вы же согласны, что любое натуральное число $\geq -2$?
Значит, $-2$ есть нижняя граница для множества натуральных чисел.
Ну вот.

[Solaris86]

Mikhail_K в сообщении #1477265 писал(а):

Ну вот.

Если так рассуждать, тогда да.
А что по поводу правильных дробей: почему Фихтенгольц рассматривает только положительные правильные дроби?

[Mikhail_K]

Solaris86 в сообщении #1477267 писал(а):

почему Фихтенгольц рассматривает только положительные правильные дроби?

Напишите точную цитату из Фихтенгольца, из которой Вы сделали такое умозаключение. Я например вижу, что нет, не только положительные.

[Solaris86]

Цитата
"Например, множество правильных дробей ограничено сверху числом 1 или любым числом > 1. ... Множество правильных дробей ограничено снизу числом 0 или любым числом < 0".
Для положительных правильных дробей или модуля любых правильных дробей это так. А для отрицательных правильных дробей - нет, для них должно звучать так: множество отрицательных правильных дробей ограничено сверху числом 0 или любым числом > 0 и ограничено снизу числом -1 или любым числом < -1.

[Mikhail_K]

Solaris86
Тогда да, Вы правы.
Но может быть, Фихтенгольц включает положительность в определение правильной дроби?
Определения в разных источниках могут быть разными.

[Aritaborian]

Кстати, topic122490.html.

[vpb]

Solaris86 в сообщении #1477284 писал(а):

Для положительных правильных дробей или модуля любых правильных дробей это так. А для отрицательных правильных дробей - нет, для них должно звучать так: множество отрицательных правильных дробей ограничено сверху числом 0 или любым числом > 0 и ограничено снизу числом -1 или любым числом < -1.

Да, верно.

Есть еще такая вещь, у недостаточно аккуратных авторов. Иногда использование какого-то понятия или термина слегка не соответствует его определению (или, более общо, описанию в том месте, где оно вводится). Например (это я утрирую), в первой главе "правильные дроби" могут вводиться как все положительные рациональные числа, меньшие $1$. А во второй главе тот же термин применяется к любым рациональным числам, меньшим $1$ по абсолютной величине, в том числе и отрицательным.