Билинейное отображение (банаховы пространства)

[AD]

Наверное, вопрос оцень простой, наивный, и ответ отрицательный, но всё-таки. Я как-то уже привык, что когда я прошу привести контрпример, всегда утверждение оказывается верным. Хочется понять, насколько в этой теме всё распахано.

Пусть $(X,\|\cdot\|_X)$ -- нормированное пространство, $(Y,\|\cdot\|_Y)$ и $(Z,\|\cdot\|_Z)$ --- банаховы пространства. И имеется билинейное отображение $\mathcal{A}:X\times Y\to Z$. Известно, что оно совместно непрерывно, $\|\mathcal{A}(x,y)\|_Z\leqslant\|x\|_X\|y\|_Y$. Для каждого $x\in X$ определяем непрерывный оператор $\mathcal{A}_x\colon Y\to Z$, $y\mapsto \mathcal{A}(x,y)$. Рассматриваем на $X$ операторную норму $\|x\|=\|\mathcal{A}_x\|$. Будет ли пространство $(X,\|\cdot\|)$ с новой нормой банаховым?

... в смысле предполагаемые варианты ответа:
1. Всегда будет
2. Когда как
3. Никогда не будет

... ясно, что новая норма мажорируется старой.

... не думаю, что существует такой универсальный способ производства банаховых пространств, хотя мало ли ...

... если контрпример не будет достаточно убедительным, будем накладывать новые условия. Например, потребуем, чтобы отображение $x\mapsto \mathcal{A}_x$ инъективно, и операторы $\mathcal{A}_x$ тоже были инъективны для всех $x$. Кстати, наверное, первое можно бы и сразу потребовать, а то $\|\cdot\|$ не будет нормой.

Добавлено спустя 7 минут 11 секунд:

Пространства у меня вещественные, но при необходимости без труда перейду на комплексные.

[Gafield]

Цитата:

... не думаю, что существует такой универсальный способ производства банаховых пространств

Пусть $Y=L_2([0,1])$, $X=C([0,1])$, причем норму можно брать как $C$, так и $L_2$. В первом случае $X$ само банахово. Пусть $Z=\mathbb R$, билинейное отображение - скалярное произведение в $L_2([0,1])$. Тогда норма ${\cal A}_x$ совпадает с нормой в $L_2$, по которой $C$ неполно.

И вообще, таким способом можно взять любое незамкнутое подпространство в гильбертовом пространстве. В этом случае получится то же самое подпространство.

[AD]

Мда, действительно, слишком просто ...

Добавлено спустя 1 час 36 минут 21 секунду:

А вообще есть ли такие какие-нибудь нетривиальные теоремы, которые утверждают, что "если что-то-там, то пространство банахово"?