Распределение на многообразии

[pogulyat_vyshel]

Пусть на гладком многообразии $M$ с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ имеется набор дифференциальных форм

$$\omega^r(x)=\omega^r_i(x)dx^i,\quad r=1,\ldots,n<m,\quad\mathrm{rang}\,\omega^r_i=n,$$

который задает распределение

$$\mathcal T_x=\bigcap_{r=1}^n\ker \omega^r(x)\subset T_xM.$$

Кроме того, имеется векторное поле $v=v(x)$ и поток этого поля $g^t:M\to M$.
Предположим, что существует набор функций $C_s^k(x)$ такой, что

$$L_v\omega^k=C_r^k\omega^r.$$

Доказать, что

$$dg^t(x)\mathcal T_x=\mathcal T_{g^t(x)}.$$

-- 02.08.2020, 14:30 --

$L_v$ -- производная Ли

[svv]

Для уменьшения количества скобок я буду писать $g^tx$ вместо $g^t(x)$. Значение 1-формы $\omega$ на векторе $\xi$ буду обозначать $\omega\cdot\xi$ вместо $\omega(\xi)$.

Выберем на $M$ точку $x$ и вектор $\xi_x\in T_x M$.
С помощью переноса Ли протянем $\xi_x$ на все точки интегральной кривой поля $v$, проходящей через $x$:
$\xi_{y}=g^t_*\,\xi_x\in T_{y}M$, если $y=g^tx$.
Тогда всюду на кривой $L_v\xi=0$.

(подробнее)

Найдём $L_v\xi$ в точке $y=g^t x$. По определению
$(L_v\xi)_y=\left.\dfrac d{dh}\right|_{h=0} g^{-h}_*\,\xi_{g^{h}y}=\left.\dfrac d{dh}\right|_{h=0} g^{-h}_*g^{t+h}_*\xi_x=0$

По правилу Лейбница
$L_v(\omega^k\cdot \xi)=(L_v \omega^k)\cdot \xi+\omega^k\cdot L_v\xi=(L_v \omega^k)\cdot \xi=C^k_r\omega^r\cdot \xi\,,$
или
$\dfrac {df^k}{dt}=C^k_r f^r\,,$
где $f^r(t)=(\omega^r\cdot \xi)_{y(t)}$ — скалярные функции на кривой.
Получили систему ОДУ первого порядка относительно $f^r$.

Пусть $\xi_x\in \mathcal T_x$. Тогда $f^r(0)=(\omega^r\cdot \xi)_x=0$, и начальные условия нулевые. Система имеет тривиальное решение $f^r(t)=0$ (нужно что-то сказать о единственности). Тогда в каждой точке $y=g^t x$ кривой для всех форм $\omega^r$ выполняется $(\omega^r\cdot \xi)_y=0$, то есть $\xi_y\in \mathcal T_y$.

Так как $x=g^{-t}y$, то и наоборот, из $\xi_y\in \mathcal T_y$ следует $\xi_x\in \mathcal T_x$.
Итак,
$\xi\in\mathcal T_x \Leftrightarrow g^t_*\xi \in \mathcal T_{g^t x}$

[pogulyat_vyshel]

Все так. И обратное тоже верно, но совсем тривиально. Это все к истории с теоремой Нетер и понижением порядка. Там условие $L_v\omega^r=0$ можно заменить на условие инвариантности распределения.