2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Нетер в системе с идеальными связями
Сообщение31.07.2020, 19:08 
Аватара пользователя


31/08/17
2115
Пусть на гладком многообразии $M$ с локальными координатами $x=(x^1,\ldots,x^m)$ задана система c лагранжианом
$$L=L(x,\dot x),\quad \det\frac{\partial ^2L}{\partial \dot x^2}\ne 0\qquad (0)$$
и идеальными связями
$$\omega^r=\omega^r_i(x)dx^i,\quad \omega^r_i(x)\dot x^i=0,\quad r=1,\ldots,n<m,\quad\mathrm{rang}\,\omega^r_i=n.$$
Т.е. движения ищутся из принципа Даламбера-Лагранжа:
$$\omega^r_i\delta x^i=0\Longrightarrow\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^i}-\frac{\partial L}{\partial  x^i}\Big)\delta x^i=0.$$
Число степеней свободы этой системы равно $m-n.$
Предположим, что данная система имеет группу симметрий $g^s:M\to M$, которая генерируется векторным полем $v=v(x):$
$$L(x,\dot x)=L\Big(g^s(x),\frac{\partial g^s(x)}{\partial x}\dot x\Big),\quad \forall s,\qquad i_v\omega^r=\omega^r_iv^i=0.$$
Дифференцируя по $s$ первое из этих равенств и полагая $s=0$, имеем
$$
0=\frac{\partial L}{\partial x}v+\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\frac{\partial v^k}{\partial x^i}\dot x^i.\qquad(1)$$
ТЕОРЕМА. Система (0) имеет первый интеграл
$$F(x,\dot x)=\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}v^k.$$
Действительно,
$$\dot F=\frac{d}{dt}\Big(\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\Big)v^k+\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}\frac{\partial v^k}{\partial x^i}\dot x^i.$$
Это равенство вместе с формулой (1) и принципом Даламбера-Лагранжа:
$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x^k}-\frac{\partial L}{\partial  x^k}\Big)v^k=0$$
дает утверждение теоремы.
Заметим, что в данной теореме не используется группа $g^s$, а используется только векторное поле $v$, удовлетворяющее условию (1) и условию $i_v\omega^r=0$.
Предположим теперь дополнительно, что $$v\ne 0,\quad L_v\omega^r=0.$$
Через $L_v$ обозначена производная Ли.
В этом случае в окрестности каждой точки на многообразии $M$ можно ввести локальные координаты $y$, в которых $v=(0,\ldots,0,1)^T.$ Если группа $g^s$ задана, то такие координаты строятся явно.
В этих координатах $g^s(y)=(y^1,\ldots,y^{m-1},y^m+s)$, функция $L$ и коэффициенты форм $\omega^r$ не зависят от $y^m$, а Нетеров интеграл становится циклическим
$$F=\frac{\partial L}{\partial \dot y^m}.$$
Более того $\omega^r_m=0.$

Зафиксируем константу Нетерова интеграла:
$$p=\frac{\partial L}{\partial \dot y^m},$$ и выразим из этого уравнения
$$\dot y^m=u(p,y^1,\ldots, y^{m-1},\dot y^1,\ldots, \dot y^{m-1}).$$
Введем функцию Рауса
$$R(p,y^1,\ldots, y^{m-1},\dot y^1,\ldots, \dot y^{m-1})=(L|_{\dot y^m=u}-p u).$$
Теперь так же, как и обычно, можно показать, что
ТЕОРЕМА. Cистема (0) эквивалентна принципу Даламбера-Лагранжа
$$\Big(\frac{d}{dt}\frac{\partial R}{\partial \dot y^j}-\frac{\partial R}{\partial  y^j}\Big)\delta y^j=0,\quad \omega^r_j\delta y^j=0,\quad j=1,\ldots, m-1$$
со связями $\omega^r_j\dot y^j=0.$
Число степеней свободы этой системы равно $m-1-n$ -- порядок системы дифференциальных уравнений понизился на 2.
В общем случае, когда имеются несколько групп симметрий $g^{s_1}_1,\ldots,g^{s_p}_p$ порожденные линейно независимыми в каждой точке
полями $v_1,\ldots, v_p$ то для понижения порядка по Раусу нужно что бы $[v_i,v_j]=0$ тогда существуют локальные координаты в которых $v_i=\partial_i.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group