Наименьший возможный периметр описанного четырёхугольника

[Unmensch]

Всем добрый день!

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующей задачей:

Цитата:

Диагональ четырёхугольника проходит через центр вписанной окружности, радиус которой равен 1. Найдите наименьший возможный периметр этого четырёхугольника

И у меня есть решение этой задачи, вот его начало:

Цитата:

Для вписанного многоугольника справедлива формула S = pr. Поэтому минимум периметра соответствует минимуму площади. Из симметрии очевидно, что площадь минимальна для ромбов (т.е. когда центр вписанной окружности лежит на каждой из диагоналей).

Может ли кто-нибудь объяснить, каким образом это очевидно из симметрии? Или может быть как-то по-другому можно доказать, что это должен быть именно ромб?

[alisa-lebovski]

Начать можно со следующего. Диагональ, проходящая через центр окружности, делит четырехугольник и окружность на две части. Если одна из частей четырехугольника оказалась меньше по площади, отразим ее относительно диагонали и заменим этим большую часть, получим четырехугольник меньшей площади, описанный относительно той же окружности. Так что симметрия относительно этой диагонали должна быть.

Кстати, то же самое, если часть меньше по периметру.

Дальше можно просто двигать точку пересечения диагоналей и смотреть, как меняется площадь (или периметр).

[Unmensch]

alisa-lebovski в сообщении #1476553 писал(а):

Начать можно со следующего. Диагональ, проходящая через центр окружности, делит четырехугольник и окружность на две части. Если одна из частей четырехугольника оказалась меньше по площади, отразим ее относительно диагонали и заменим этим большую часть, получим четырехугольник меньшей площади, описанный относительно той же окружности. Так что симметрия относительно этой диагонали должна быть.

Кстати, то же самое, если часть меньше по периметру.

Дальше можно просто двигать точку пересечения диагоналей и смотреть, как меняется площадь (или периметр).

Спасибо большое! Очень помогли :)

[TOTAL]

Unmensch в сообщении #1476595 писал(а):

Спасибо большое! Очень помогли :)

Симметрия относительно диагонали, которая по условию проходит через центр, действительно очевидна. Но до ромба ещё далеко.

[alisa-lebovski]

Зависимость площади (и периметра) от положения точки пересечения диагоналей симметрична относительно центра окружности, значит, там экстремум.

[TOTAL]

alisa-lebovski в сообщении #1476608 писал(а):

Зависимость площади (и периметра) от положения точки пересечения диагоналей симметрична относительно центра окружности, значит, там экстремум.

Это может быть локальный максимум. Или всего лишь локальный минимум.

[alisa-lebovski]

Зависимость можно найти в явном виде и минимизировать. Минимум у нее один и глобальный. Но согласна, это не так очевидно, как с первой диагональю. У Вас есть другие соображения?

[Unmensch]

Да уж, что-то я действительно рано обрадовался. Дорешать так и не удалось :)

[TOTAL]

Unmensch в сообщении #1477596 писал(а):

Да уж, что-то я действительно рано обрадовался. Дорешать так и не удалось :)

Бросьте это несчастный ромб и симметрию. Докажите, что периметр описанного $N$-угольника минимален, если $N$-угольник правильный. Это просто сделать геометрически.