ТФКП особые точки

[mistigris]

Помогите, пожалуйста, разобраться с заданием:

Найти все особые точки функции и определить их тип:

$$f(z)=e^{\frac z {2-z}} +z^4 -\frac 1 {\sin z}$$

особые точки:

$$z=2; z=\pi k, k\in Z$$

для

$$f_1 (z)=e^{\frac z {2-z}}$$

:

$$\lim\limits_{z\to\infty}e^{\frac z {2-z}}=e^{-1}\neq \infty \Rightarrow z=2$$

- устранимая особая точка

для

$$f_2 (z)=\frac1 {\sin z}$$

:

$$\lim\limits_{z\to\infty} \frac1 {\sin z}=$$

не существует

$$\Rightarrow z=\pi k, k\in Z$$

существенно особая точка

правильно ли я рассуждаю? здесь не нужно раскладывать функции в ряд Лорана?

[Brukvalub]

mistigris писал(а):

$$\lim\limits_{z\to\infty} \frac1 {\sin z}=$$

не существует

$$\Rightarrow z=\pi k, k\in Z$$

существенно особая точка

Это рассуждение - неверно.

[RIP]

Да и предыдущее тоже неверно. Почему Вы рассматриваете предел при $z\to\infty$?

[Brukvalub]

mistigris писал(а):

особые точки:

$$z=2; z=\pi k, k\in Z$$

Да и особые точки названы не все

[mistigris]

RIP писал(а):

Да и предыдущее тоже неверно. Почему Вы рассматриваете предел при $z\to\infty$?

... прочла в методичке)
но я уже поняла свою ошибку, обратившись к книге: нужно рассматривать предел при

$$z\to \{z_0}$$

в этом случае предел равен бесконечности, а это говорит о том, что точка z - полюс.
из теоремы о связи между нулём и полюсом следует, что т.к. точка

$$z=\pi k, k\in Z$$

является нулём 1-го порядка для ф-ции

$$f(z)=\sin z$$

, то она является полюсом 1-го порядка для обратной ф-ции.

для первой функции предел тоже равен бесконечности. там тоже можно применить теорему о связи нуля и полюса? тогда получается полюс 1-го порядка. (upd: нет, нельзя... уже поняла)

да?

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:

Brukvalub писал(а):

mistigris писал(а):

особые точки:

$$z=2; z=\pi k, k\in Z$$

Да и особые точки названы не все

намекните, пожалуйста)

[RIP]

Ещё особая точка $z=\infty$.

Можно сказать, что с точками $\pi k$ Вы почти разобрались. Но всё-таки стоит упомянуть, что $f(z)+f_2(z)$ не имеет особенностей в этих точках, поэтому... (для примера рассмотрите $f(z)=\frac1{\sin z}-\frac1{\sin z}$ ). Я понимаю, что Вы это скорее всего понимаете, но преподаватель может придраться (я бы придрался ), поэтому, как говорится, в этом деле лучше перебдеть, чем недобдеть. К слову, под обратной функцией обычно понимают не $f(z)^{-1}=\frac1{f(z)}$, а кое-что другое.

mistigris писал(а):

для первой функции предел тоже равен бесконечности.

Вы уверены? Я — нет.

[antbez]

Цитата:

mistigris писал(а):
для первой функции предел тоже равен бесконечности.

Вы уверены? Я — нет.

Mistigris!
z=2- существенно особая точка(в ней не существует предел, так как правосторонний и левосторонний пределы не равны) и в бесконечности- существенная особенность!

[RIP]

antbez писал(а):

в бесконечности- существенная особенность!

Это неверно.

[Brukvalub]

Бесконечность не является изолированной особой точкой.

[antbez]

Извиняюсь- невнимателен! Значит, полюс 4-ого порядка?

[Brukvalub]

antbez писал(а):

Извиняюсь- невнимателен! Значит, полюс 4-ого порядка?

Полюса - изолированные особые точки.

Brukvalub писал(а):

Бесконечность не является изолированной особой точкой.

Поэтому бесконечность не может быть полюсом.

[RIP]

Блесну остатками интеллекта : можно уточнить, что бесконечность — точка накопления полюсов.

[antbez]

Цитата:

бесконечность — точка накопления полюсов

Что это означает?

[RIP]

antbez писал(а):

Цитата:

бесконечность — точка накопления полюсов

Что это означает?

Это означает, что функция мероморфна в некоторой проколотой окрестности бесконечности и в каждой такой окрестности имеет полюс.
P.S. Термин я спионерил из Евграфов М.А. — Сборник задач по теории аналитических функций. Не знаю, является ли он общепринятым: например, в Евграфов М.А. — Аналитические функции используется термин "особая точка, предельная для полюсов".

[antbez]

А если бы у нас не было третьего слагаемого, то был бы стандартный полюс 4-ого порядка?