2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 04:40 


18/07/20
42
Придумал интересное геометрическое доказательство: пусть $a^2 + b^2 = r^2$, $c^2 + d^2 = s^2$. Рассмотрю точки $A = (0; 0), B = (ac; ad), C = (-bd; bc)$. Треугольник $ABC$ прямоугольный с катетами $AB = as, AC = bs$, значит, $BC^2 = r^2s^2$, с другой стороны, $BC^2 = (ac+bd)^2+(ad-bc)^2$, из чего $(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$. (понятно, что доказываемое утверждение тривиально, да и само доказательство неинтересно для профессионального математика, но) был бы рад увидеть похожие красивые геометрические док-ва.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 13:22 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Рассмотрим тождество Лагранжа при $n=3$:
$$(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2$$Равенство, которое Вы красиво доказали, является его частным случаем: положите $(a_1,a_2,a_3)=(a,b,0)$ и $(b_1,b_2,b_3)=(c,d,0)$.

Раскрывать все скобки и проверять равенство в лоб совсем не хочется.
Пусть все эти буковки — декартовы компоненты векторов $\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)$ и $\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)$. Вспоминая формулы для скалярного и векторного произведения в компонентах, тождество можно переписать в виде
$|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2=|\mathbf a\times\mathbf b|^2$, или
$a^2b^2-a^2b^2\cos^2\gamma=a^2b^2\sin^2\gamma$,
где $\gamma$ — угол между векторами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 13:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero

(Оффтоп)

svv, а для $n = 4$ слабо? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:02 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
$\sum\limits_{i<k}(a_ib_k-b_ia_k)^2=\frac 1 2 \sum\limits_{i,k}(a_ib_k-b_ia_k)^2=$
$=\frac 1 2 \sum\limits_{i,k} (a_ia_ib_kb_k+a_ka_kb_ib_i-2a_ib_ia_kb_k)=a^2b^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
А как бы вот тут векторное произведение получить с другой стороны от равенства...

(я имею в виду ход $a^2 b^2 = (ab)^2 \cos^2 \gamma + (ab)^2 \sin^2 \gamma$)

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:08 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Оно, к сожалению, только в трёхмерном пространстве существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Вот и я о том. Красота испарилась.

-- 26.07.2020 в 14:15 --

(Хотя arseniiv может всё спасти, я в него верю :lol: )

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:22 


21/05/16
4292
Аделаида
Ну, в четырехмерном случае можно определить "векторное произведение" трех векторов, и так далее... Тогда оно будет существовать, но вряд ли равенство сохранится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:23 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Я думаю, в случае $n=3$ вся красота благодаря тому, что великие предшественники уже перебросили за нас мостик между $(a_2b_3-a_3b_2, a_3b_1-a_1b_3, a_1b_2-a_2b_1)$ и $\mathbf n ab\sin\gamma$.

При $n>3$ тоже можно написать
$(\mathbf a\wedge\mathbf b)^2=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$,
где слева квадрат «длины» тензора второго ранга, но получать из неё $\sin\gamma$ придётся уже самим.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:25 


21/05/16
4292
Аделаида
И кстати, если я не ошибаюсь, у такого "векторного произведения" останутся свойства обычного :-) Скажем, четырехмерное произведение трех векторов будет перпендикулярно трехмерному пространству из этих векторов...
svv в сообщении #1476080 писал(а):
$(\mathbf a\wedge\mathbf b)^2=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$

А что за значок (пересечение) слева?

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:28 
Модератор
Аватара пользователя


30/09/17
1237
StaticZero в сообщении #1476076 писал(а):
Красота испарилась.

Красота, как всегда, субъективна :-) При использовании внешних произведений (собственно, что svv демонстрирует) тоже вполне красивые результаты получаются. Просто их не получится так легко геометрические проинтерпретировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:32 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
https://ru.wikipedia.org/wiki/Внешняя_алгебра

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


22/06/12
2129
/dev/zero
Eule_A, svv, угу.

Просто элементарные рассуждения, с которых тема началась, элементарными остаются только до 3D. Дальше можно сохранить простую форму равенств
svv в сообщении #1476080 писал(а):
$(\mathbf a\wedge\mathbf b)^2=|\mathbf a|^2|\mathbf b|^2-(\mathbf a\cdot\mathbf b)^2$,

только введя новую идею. Стоило бы, может, это и отметить :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение26.07.2020, 14:59 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
Согласен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Геометр. док-во (a^2+b^2)(c^2+d^2)=...
Сообщение27.07.2020, 01:45 


18/07/20
42
svv
Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group