Рассмотрим
тождество Лагранжа при

:

Равенство, которое Вы красиво доказали, является его частным случаем: положите

и

.
Раскрывать все скобки и проверять равенство в лоб совсем не хочется.
Пусть все эти буковки — декартовы компоненты векторов

и

. Вспоминая формулы для скалярного и векторного произведения в компонентах, тождество можно переписать в виде

, или

,
где

— угол между векторами.