Вопрос о сходимости по вероятности

[Snef]

Добрый день! Подскажите, пожалуйста, эквивалента ли следующая формула:

$$\mathbb{P}(\Delta_x \geq f(x)) \rightarrow 0,\; \text{при} \; x \rightarrow \infty$$

опрелению сходимости по вероятности:

$$\mathbb{P}(|\Delta_x - f(x)| \geq \varepsilon) \rightarrow 0,\; \text{при} \; x \rightarrow \infty$$

?

Как я понимаю, исходя из определения функции распределения случайной величины:

$$\mathbb{P}(\Delta_x \geq f(x)) = 1 - F_{\Delta_x }(f(x)) \rightarrow 0 \; \text{при} \; x \rightarrow \infty $$

откуда

$$ F_{\Delta_x }(f(x)) \rightarrow 1, \; \text{при} \; x \rightarrow \infty $$

т.к.

$$ F_{X}(x) = 1, \; \text{при} \; x \rightarrow \infty $$

то можно ли говорить о том, что a)"На всем множестве значений случайная величина $\Delta_x$ не превосходит $f(x)$ при $x \rightarrow \infty$" т. е. в каком то смысле:

$$ \Delta_x \leq f(x), \text{при} \; x \rightarrow \infty $$

?

Или правильнее будет утверждение б)"Вероятность того, что $ \Delta_x \leq f(x)$ стремится к 1 с ростом $x$" ?

Или оба утверждения неправильны? Можно ли вместо $\leq$ ставить знак $\rightarrow$?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:


- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

-- 21.07.2020, 23:11 --

Snef
Вы бы еще обозначения расшифровали: $\Delta_x, f(x)$ и пояснили, какое отношение строчка

Snef в сообщении #1475064 писал(а):

$$\mathbb{P}(|\Delta_x - f(x)| \geq \varepsilon) \rightarrow 0,\; \text{при} \; x \rightarrow \infty$$

имеет к определению сходимости по вероятности, было бы, наверное, лучше.

[DeBill]

Snef в сообщении #1475064 писал(а):

Или оба утверждения неправильны?

Вообще то, хочется сказать, что ВСЕ утверждения из этого поста - неправильные...

[alisa-lebovski]

Рассмотрите, к примеру, $\Delta_x=f(x)+\frac{1}{x}.$

[Snef]

DeBill, Извиняюсь, за такой глупый вопрос. Понял, что сходимость по вероятности совсем не относится к тому что я спрашиваю.