Коммутативность сложения в "Concrete Mathematics"

[VoprosT]

Д.Кнут в "Конкретной математике" на 49-ой странице в главе про суммы пишет: "Согласно переместительному закону, заменив $k$ на $n-k$, получим $S = \sum\limits_{0\leqslant n-k\leqslant n}(a+b(n-k)) = \sum\limits_{0\leqslant k\leqslant n}(a+bn-bk)$. Может ли мне кто-то, пожалуйста, объяснить, что здесь произошло с формальной точки зрения?(если быть точнее - является ли преобразование после второго равенства перестановкой, как в случае с суммой после первого равенства, где вместо $k$ появилось $n-k$). Появление $n-k$ я понимаю, потому что переместительный закон выше как раз и формулируется с помощью перестановок множества, по которому ведётся суммирование, а как мы снова безболезненно вернулись к $k$? Почему мы можем так вернуться к $k$, опираясь на 3 правила обращения с суммами, которые сформулированы выше по тексту(вынесение константы,ассоциативность и коммутативность)? Я бы понял, если бы просто обратным ходом $n-k$ заменили $k$, но такое действие содержательностью не отличается. Вот такой вот ступор у меня.

В общем, если я правильно понимаю свою проблему: нуждаюсь в объяснении второго перехода на основе тех трёх законов обращения с суммами. Нужно что-то типа того, как доказывается единственность нуля в группе по сложению, не по содержанию, но по сути.

[Утундрий]

VoprosT в сообщении #1474502 писал(а):

что здесь произошло с формальной точки зрения?

Мы пересчитали те же числа в обратном порядке.

[VoprosT]

Утундрий в сообщении #1474503 писал(а):

VoprosT в сообщении #1474502 писал(а):

что здесь произошло с формальной точки зрения?

Мы пересчитали те же числа в обратном порядке.

Да нет, на пальцах я понимаю, что мы пересчитали те же числа в обратном порядке, а как объяснить то, что пишется буквами после второго знака равно(уточнил свою проблему,отредачил сообщение)?

[Утундрий]

VoprosT в сообщении #1474504 писал(а):

как объяснить то, что пишется буквами после второго знака равно

Там-то как раз всё понятно, а вот по какой переменной нужно суммировать после первого знака равно?..

[VoprosT]

Утундрий в сообщении #1474505 писал(а):

VoprosT в сообщении #1474504 писал(а):

как объяснить то, что пишется буквами после второго знака равно

Там-то как раз всё понятно, а вот по какой переменной нужно суммировать после первого знака равно?..

По $k$.
Но в книге выше объясняется так, что мы должны суммировать

$$\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}$$

после подстановки. Но после второго равенства у нас ведь фактически написано

$$\sum\limits_{k\in K}a_{p(k)}$$

, и это меня вообще вышибает.

[arseniiv]

VoprosT в сообщении #1474512 писал(а):

Но в книге выше объясняется так, что мы должны суммировать

$$\sum\limits_{p(k)\in K}a_{p(k)}$$

после подстановки. Но после второго равенства у нас ведь фактически написано

$$\sum\limits_{k\in K}a_{p(k)}$$

, и это меня вообще вышибает.

Это или опечатка, или там есть дополнительный контекст, или просто там сделали не совсем ту замену, как видится: заменили $n - k$ на $k$ под суммой, поменяв порядок суммирования, пока он ещё важен (в ваших записях в этой цитате порядок уже не определён), но не применяли замену в слагаемом. Короче выглядит как заредактированность, я бы кстати оригинал ещё посмотрел.

Вообще же они там вроде быстро переходили к пониманию суммы с индексами из множества, слагаемые в которой уже можно переставлять как попало при конкретном вычислении, или неправильно помню?

VoprosT в сообщении #1474502 писал(а):

Д.Кнут

Ну у него там соавторы вообще-то.

[Aritaborian]

arseniiv в сообщении #1474518 писал(а):

я бы кстати оригинал ещё посмотрел

Отличий нет.

[VoprosT]

В общем, я разобрался, кажется, просто не так понял авторов, но теперь всё так, всем спасибо