Неоднородная задача для параболического оператора

[demolishka]

Пусть $A \colon \mathcal{D}(A) \subset \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ есть самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве $\mathbb{H}$. Пусть для простоты $A^{-1}$ компактен. Предположим, что для некоторой константы $\lambda \in \mathbb{R}$ выполнено $(Av,v) \geq \lambda (v,v)$. Тогда для $\alpha \in \mathbb{R}$ можно определить дробную степень оператора $(A+\lambda'I)^{\alpha}$ при любом $\lambda' > -\lambda$ и пространства $\mathbb{H}_{\alpha} = \mathcal{D}((A+\lambda'I)^{\alpha})$ со скалярным произведением $(v_{1},v_{2})_{\alpha}:= ( (A+\lambda')^{\alpha}v_{1}, (A+\lambda')^{\alpha}v_{2})$. Пространство $\mathbb{H}_{\alpha}$ как множество от выбора $\lambda'>\lambda$ не зависит, а соответствующие скалярные произведения эквиваленты.

Рассмотрим $C_{0}$-полугруппу $G(t)$ (в $\mathbb{H}$), порожденную оператором $-A$.

Рассмотрим решение неоднородной задачи $\dot{v} = Av + f(t)$ с $v(0)=v_{0} \in \mathbb{H}$ на промежутке $[0,T]$ для $f(\cdot) \in L_{2}(0,T;\mathbb{H})$. Оно дается формулой

$$v(t) = G(t)v_{0} + \int_{0}^{t}G(t-s)f(s)ds.$$

Из общей теории $C_{0}$-полугрупп имеем $v(\cdot) \in C([0,T];\mathbb{H})$. Пусть $\alpha \in [0,1)$. Меня интересует, что можно сказать про принадлежность решения $v(\cdot)$ более хорошим пространствам. Например, можно ли, утверждать, что
1) $v(\cdot) \in C([0,T];\mathbb{H}_{\alpha})$, или 2) $v(\cdot) \in L_{2}(0,T;\mathbb{H}_{\alpha})$
или, те же вопросы, если потребовать дополнительно, что $v_{0} \in \mathbb{H}_{\alpha}$ (и все том же $f(\cdot) \in L_{2}(0,T;\mathbb{H})$).

Насколько я понимаю, Теорема 1.2 главы 3 из Lions J. L. Optimal control of systems governed by partial differential equations, 1971 дает ответ при $\alpha = 1/2$ (иначе оператор $A$ не продолжить до оператора $\mathbb{H}_{\alpha} \to \mathbb{H}_{-\alpha}$ с коэрцитивной относительно $\mathbb{H}_{\alpha}$ формой). А именно получаем, что $v(\cdot) \in L_{2}(0,T;\mathbb{H}_{1/2})$. В частности, при $\alpha \leq 1/2$ будет $v(\cdot) \in L_{2}(0,T;\mathbb{H}_{\alpha})$. Можно ли усилить это для $\alpha > 1/2$, дополнительно потребовав $v_{0} \in \mathbb{H}_{\alpha}$, или $f(\cdot) \in L_{2}(0,T;\mathbb{H})$ все испортит?